Question

（2013•鎮(zhèn)江二模）如圖，二次函數(shù)y=ax²+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且AB=4，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ交直線AC于點(diǎn)G．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+c關(guān)系式和直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點(diǎn)M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EG的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，根據(jù)拋物線的解析式面積可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求得AC的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可寫(xiě)出解析式；
（3）可以分腰和底邊進(jìn)行討論，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）過(guò)G作GH⊥y軸，根據(jù)三角形相似，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且AB=4，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0），
∵與y軸交于點(diǎn)C（0，2），
∴c=2，
∴0=4a+2，
∴a=-

1

2

，
∴二次函數(shù)y=ax²+c關(guān)系式為y=-

1

2

x²+2，
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，由題意可知

0=-2k+b b=2

，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；

（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=

1

2

（2-t）t=-

1

2

t²+t，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=

1

2

（t-2）t=

1

2

t²-t，

（3）（0，-2）；（0，2+2

2

)； （0，2-2

2

)；

（4）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EG的長(zhǎng)度不變EG=

2

，
理由如下：當(dāng)0＜t＜2時(shí)，過(guò)G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t，
由

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

2-t

=

GH+t

2+t

，
解得：GH=1-

1

2

t，
∴CG=

2

GH=

2

-

2

2

t，
∴GE=AC-AE-GC=2

2

-

2

2

t-（

2

-

2

2

t）=

2

，
即GE的長(zhǎng)度不變．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，過(guò)G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=

2

2

t，
由

GH

PO

=

QH

QO

即

GH

t-2

=

t-GH

2+t

，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=

t-2

2

，
∴CG=

2

GH=

2 (t-2)

2

，
于是，GE=AC-AE+GC=2

2

-

2

2

t+

2 (t-2)

2

=

2

，
即GE的長(zhǎng)度不變．
綜合得：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EG的長(zhǎng)度不發(fā)生改變，為定值

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式以及三角形的面積公式和相似三角形的性質(zhì)，解題的難點(diǎn)在于分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，要做到不重不漏的分析問(wèn)題的存在性．