Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角的三角板，把30°角的頂點放在BC上一點D處，三角板繞點D旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)三角板的兩邊分別交邊AB、AC于點E、F時，求證：△BDE∽△CFD．
（2）當(dāng)三角板的兩邊分別交邊AB、邊CA的延長線于點E、F時，上述結(jié)論還成立嗎？（直接回答，無需證明）
（3）當(dāng)D點的位置是BC的中點時，連接E，F(xiàn)，△BDE與△DFE是否相似？并予以證明．
（4）若三角板的一邊過點A（E與A重合），另一邊與AC交于F，設(shè)BD=x，AF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）若要證明△BDE∽△CFD，只要找到兩對相等的角即可，利用等腰三角形的性質(zhì)和30°角的特點證明即可；
（2）△BDE與△CFD相似，證明思路和（1）相同；
（3）△BDE與△DFE相似，根據(jù)由一對角相等以及夾邊的比值相等的兩個三角形相似證明即可；
（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，得到

AB

DC

=

BD

CF

，根據(jù)勾股定理求出底邊BC的長，因為BD=x，所以CD=BC-x，AF=y，則CF=8-y，代入比例式整理即可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：（1）證明：∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（2）解：△BDE與△CFD相似，理由如下：
∵AB=AC=8，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BDE+∠BED=150°，
∵∠EDF=30°，
∴∠BDE+∠CDF=150°，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；

（3）△BDE與△DFE相似，理由如下：
∵△BDE∽△CFD，
∴

BE

CD

=

DE

FD

，
∵BD=CD，
∴

BE

BD

=

DE

FD

，
∴

BE

DE

=

BD

FD

，
又∵∠B=∠FDC=30°，
∴△BDE∽△DFE；

（4）由（1）可知△ABD∽△DFC，
∴

AB

DC

=

BD

CF

，
∵AB=AC=8，
∴BC=8

3

，
∵BD=x，AF=y，
∴CD=8

3

-x，CF=8-y，
∴

8

8 3 -x

=

x

8-y

，
∴y=

1

8

x²-

3

x+8．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及由相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等得到邊長之間的函數(shù)關(guān)系，題目的綜合性不小，難度中等．