Question

（2010•邢臺(tái)二模）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°．點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿折線DC→CA→AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P從點(diǎn)B沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，射線PK隨點(diǎn)P移動(dòng)，保持與BC垂直，且交折線AB-AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，BP=AF？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，QE⊥AB？
（3）設(shè)直線PK掃過(guò)菱形ABCD的面積為S，試求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PQF為等腰三角形時(shí)t的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，AF=BP，根據(jù)PF⊥BC，∠ABC=60°，可求解．
（2）當(dāng)Q在CD上，AC上，AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)不同情況求出解．
（3）開(kāi)始掃過(guò)的是三角形的面積，以后掃過(guò)的是四邊形的面積，根據(jù)面積公式可求出函數(shù)式．
（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形，根據(jù)此可求出解．

解答：解：（1）∵PF⊥BC，∠ABC=60°，AB=10，
∴PF=5

3

，
∵E為PF的中點(diǎn)，
∴PE=

5 3

2

，
∴BP=

5

2

，
∴t=

5

2

．

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在DC上時(shí)，
3t-5=10-2t
t=3．
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不可能．
當(dāng)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
10-（10-t）-（3t-20）=5
t=7.5．

（3）在前5秒鐘內(nèi)，BP=t，PE=

3

t，
∴S=

3

2

t²（0≤t≤5）．
在5秒后運(yùn)動(dòng)時(shí)，掃過(guò)的面積是梯形，
S=

1

2

（t-5+t）5

3

=5

3

t-

25

2

3

．

（4）△PQF為等腰三角形時(shí)，t=

5

3

，

60-15 3

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的四邊相等，等腰三角形的判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)．