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        1. 如圖,已知C是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn),AB=10,CD⊥AB于D點(diǎn),以AD、DB為直徑畫(huà)兩個(gè)精英家教網(wǎng)半圓,EF是這兩個(gè)半圓的外公切線,E、F為切點(diǎn).
          (1)求證:CD=EF;
          (2)求證:四邊形EDFC是矩形;
          (3)若DB=|m|,則m是使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+m2+3=0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為22的實(shí)數(shù)值,求矩形EDFC的面積.
          分析:(1)利用垂徑定理和兩圓外公切線的性質(zhì),作輔助線,就可以得到兩條線段的相等關(guān)系.
          (2)關(guān)鍵是先判斷△EDF是直角三角形,再利用三角形的全等,可得出另外兩個(gè)90°的角,因此得證.
          (3)先利用根與系數(shù)的關(guān)系,可求出DB,從而求出AD,再利用勾股定理求出AC,BC的值,再通過(guò)平行線分線段成比例性質(zhì)可求出DF,DE.那么矩形面積就可求了.
          解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:取AD的中點(diǎn)O1,BD的中點(diǎn)O2,連接O1E,O2F,并過(guò)O2作O2H⊥O1E,交O1E于H.
          ∵EF是兩圓的公切線,
          ∴O1E⊥EF,O2F⊥EF,
          又∵O2H⊥O1E,
          ∴四邊形EHO2F是矩形
          ∴EF=O2H
          在Rt△O1O2H中,O2H2=(
          1
          2
          AD+
          1
          2
          BD)2-(
          1
          2
          AD-
          1
          2
          BD)2=AD•BD
          ∵CD⊥AB
          ∴CD2=AD•BD
          ∴CD=O2H=EF.

          (2)證明:先設(shè)CD和EF交于點(diǎn)G,
          ∵EF,CD都是兩圓的切線,
          ∴GD=GE=GF.
          ∴△EDF是直角三角形.
          ∴∠EDF=90°.
          又∵DE=ED,∠FED=∠CDE,CD=FE,
          ∴△EDF≌△DEC.
          ∴∠DEC=90°.
          同理∠DFC=90°.
          ∴四邊形EDFC是矩形.

          (3)解:設(shè)x1,x2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,
          根據(jù)題意得,
          x1+x2=-2(m-1)
          x1x2=m2+3

          還能得到,x12+x22=22,三個(gè)式子聯(lián)合,
          解得,m1=-2,m2=6
          根據(jù)圖形可知,0<DB<5
          DB=|-2|=2,
          AD=8.
          ∵四邊形EDFC是矩形,
          ∴C、F、B在同一直線上,同樣C、E、A也在同一直線上.
          ∴DF∥AC.
          CF
          BC
          =
          AD
          AB

          由(1)知,CD2=AD•BD=16,
          ∴CD=4.
          在Rt△CDB中,BC=
          BD2+CD2
          =2
          5
          ,
          ∴DE=
          8
          10
          ×BC=
          8
          5
          5

          同理可得,DF=
          4
          5
          5

          ∴S矩形EDFC=CF•DF=
          8
          5
          5
          ×
          4
          5
          5
          =
          32
          5
          點(diǎn)評(píng):本題利用了外切兩圓的公切線的性質(zhì),以及矩形的判定和性質(zhì),還有直角三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理,平行線分線段成比例性質(zhì)以及矩形面積公式等知識(shí).
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