Question

已知菱形ABCD的邊長為2，設(shè)兩鄰邊AD、AB的夾角為α（α≤90°），圖1、圖2、圖3分別是α為60°，45°，30°時的一組圖形，

（1）當(dāng)α=60°時，菱形ABCD的面積為：S=

 

；
（2）當(dāng)α=45°時，菱形ABCD的面積為：S=

 

；
（3）當(dāng)α=30°時，菱形ABCD的面積為：S=

 

．
聯(lián)系與拓展：
（4）如圖4，邊長為a，兩鄰邊AD、AB的夾角為α（α≤90°）的菱形ABCD的面積為S=

 

（用含α的代數(shù)式表示），
應(yīng)用：
如圖所示，在一個形狀為長方形ABCD的廣場中，連接各邊的中點(diǎn)形成四邊形EFGH，此時GH=10m，∠GHE=30°，此部分設(shè)計(jì)一個圖案，若圖案鋪設(shè)每平米需要120元，鋪設(shè)此圖案共需多少元？

Answer 1

分析：（1）（2）（3）（4）根據(jù)三角函數(shù)，AB邊上的高h(yuǎn)=2sinα，再分別代入角α的度數(shù)，求得h，根據(jù)菱形的面積等于底乘以高求出答案即可；
應(yīng)用：先判定四邊形EFGH為菱形，過點(diǎn)E作EM⊥GF，由直角三角形的性質(zhì)，求得EM，根據(jù)菱形的面積等于底乘以高求出四邊形EFGH的面積，再由每平米需要120元得出答案．

解答：解：（1）∵AD=AB=2，α=60°，∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

3

2

=

3

，
∴S=AB•h=2

3

；

（2）∵AD=AB=2，α=45°，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

2

2

=

2

，
∴S=AB•h=2

2

；

（3）∵AD=AB=2，α=30°，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα=2×

1

2

=1，
∴S=AB•h=2；

（4）∵AD=AB=2，
∴sinα=

h

AD

，
∴h=2sinα，
∴S=AB•h=2sinα；
應(yīng)用：∵四邊形ABCD為矩形，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，
∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH為菱形，
過點(diǎn)E作EM⊥GF，

∵GH=10m，∠GHE=30°，
∴EM=5m，
∴S_{四邊形EFGH}=GF•EM=GH•EM=10×5=50m²，
∵圖案鋪設(shè)每平米需要120元，
∴鋪設(shè)此圖案共需120×50=6000元．
故答案為：2

3

； 2

2

； 2.4sinα．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，菱形的面積等于底乘以高，要識記．