Question

【題目】如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，（點(diǎn)C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點(diǎn)P

（1）觀察猜想：①線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為_________；②∠APC的度數(shù)為_______________

（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明

（3）拓展應(yīng)用：如圖3，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE=BD交于點(diǎn)P，則線段AE與BD的關(guān)系為________________

Answer 1

【答案】（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，見詳解；（3）AE=BD

【解析】

（1）觀察猜想：①證明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；

②過點(diǎn)C向AE，BD作垂線，由三角形全等可得高相等，再根據(jù)角分線判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度數(shù)；

（2）數(shù)學(xué)思考：結(jié)論成立，證明方法類似；

（3）拓展應(yīng)用：證明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.

解：（1）觀察猜想：結(jié)論：AE=BD．∠APC=60°．

理由： ①∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

②由①得∠EAC=∠BDC，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．

過過點(diǎn)C向AE，BD作垂線交于點(diǎn)F與G

∵由①知△ACE≌△DCB

∴CF=CG

∴CP為∠APB的角平分線

∴∠APC=60°；

（2）數(shù)學(xué)思考：結(jié)論仍然成立．

①∵△ADC，△ECB都是等邊三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

②由①得∠AEC=∠DBC，
∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，
∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．

過過點(diǎn)P向AC，BC作垂線交于點(diǎn)H與I

∵由①知△ACE≌△DCB

∴PH=PI

∴CP為∠APB的角平分線

∴∠APC=60°；

（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，

∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD.