Question

（2013•丹陽(yáng)市一模）在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，連接PC，作PE⊥PC交射線AB于點(diǎn)E．
（1）△AEP與△PDC相似嗎？為什么？
（2）當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PDC的面積是△AEP面積的4倍？

Answer 1

分析：（1）先由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠D=90°，再由PE⊥PC，根據(jù)同角的余角相等得到∠APE=∠DCP=90°-∠CPD，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似即可得出△AEP∽△DPC；
（2）先解直角△CPD，得出CP=2CD=8cm，PD=

3

CD=4

3

cm，則AP=AD-PD=（10-4

3

）cm，再由△AEP∽△DPC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式

AE

DP

=

AP

DC

，即可求出AE的長(zhǎng)；
（3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PDC的面積是△AEP面積的4倍，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方得出

S△AEP

S△DPC

=（

AP

DC

）²=

1

4

，則

AP

DC

=

1

2

，將數(shù)值代入，即可求出t的值．

解答：解：（1）△AEP與△PDC相似．理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵PE⊥PC，
∴∠APE=∠DCP=90°-∠CPD．
在△AEP與△DPC中，

∠A=∠D ∠APE=∠DCP

，
∴△AEP∽△DPC（AA）；

（2）在△CPD中，∵∠D=90°，∠CPD=30°，CD=4cm，
∴CP=2CD=8cm，PD=

3

CD=4

3

cm，
∴AP=AD-PD=（10-4

3

）cm．
∵△AEP∽△DPC，
∴

AE

DP

=

AP

DC

，

AE

4 3

=

10-4 3

4

，
∴AE=10

3

-12．
故AE的長(zhǎng)為（10

3

-12）cm；

（3）∵△AEP∽△DPC，
∴

S△AEP

S△DPC

=（

AP

DC

）²．
設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△PDC的面積是△AEP面積的4倍，則（

AP

DC

）²=

1

4

，
∴

AP

DC

=

1

2

，即

1•t

4

=

1

2

，
解得t=2．
故在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，△PDC的面積是△AEP面積的4倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．證明出△AEP∽△DPC是解題的關(guān)鍵．