Question

如圖，在平面直角坐標系中，點C（-3，0），點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且滿足

OB2-3

+|OA-1|=0．
（1）求點A、點B的坐標；
（2）若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB由C向B運動，連接AP，設(shè)△ABP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)足

OB2-3

+|OA-1|=0．可求得OB=

3

，OA=1，根據(jù)圖象可知A（1，0），B（0，

3

）．
（2）在直角三角形中的勾股定理和動點運動的時間和速度分別把相關(guān)的線段表示出來，設(shè)CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=

t

2

．S=S_△ABC-S_△APC=2

3

-t．
（3）直接先根據(jù)相似存在分別計算對應(yīng)的p點坐標，可知滿足條件的有兩個．P₁（-3，0），P₂（-1，

2

3

3

）．

解答：解：（1）∵

OB2-3

+|OA-1|=0，
∴OB²-3=0，OA-1=0．
∴OB=

3

，OA=1．（1分）
點A，點B分別在x軸，y軸的正半軸上，
∴A（1，0），B（0，

3

）．（2分）

（2）由（1），得AC=4，AB=

12+( 3 )2

=2，BC=

32+( 3 )2

=2

3

，
∴AB²+BC²=2²+（2

3

）²=16=AC²．
∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°．（4分）
設(shè)CP=t，過P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=

t

2

，
∴S=S_△ABC-S_△APC=

1

2

×4×

3

-

1

2

×4×

t

2

=2

3

-t（0≤t＜2

3

）．（7分）
（說明：不寫t的范圍不扣分）

（3）存在，滿足條件的有兩個．
P₁（-3，0），（8分）
P₂（-1，

2

3

3

）．（10分）

點評：本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定，勾股定理和直角三角形的判定等知識點．利用非負數(shù)的性質(zhì)求算出線段的長度是解題的關(guān)鍵之一．要會熟練地運用這些性質(zhì)解題．