Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD，直線BC把△BDF的面積分成兩部分，使，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（4）若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（5，0）、（0，5）；（2）P（2，3）；（3）D（，）；（4）M的坐標(biāo)為：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．

【解析】

（1）令y＝0，則x＝1或5，令x＝0，則y＝5，即可求解；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)，連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求，即可求解；

（3）S△BDE：S△BEF＝2：3，則，即：，即可求解；

（4）分MB為斜邊、MC為斜邊、BC為斜邊三種情況，分別求解即可．

（1）令y＝0，則x＝1或5，令x＝0，則y＝5，

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（1，0）、（5，0）、（0，5）；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝2，

點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)，連接BC交拋物線對稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求，

直線BC的表達(dá)式為：y＝x＋5，

當(dāng)x＝2時，y＝3，故點(diǎn)P（2，3）；

（3）設(shè)點(diǎn)D（x，x2＋4x＋5），則點(diǎn)E（x，x＋5），

∵S△BDE：S△BEF＝2：3，則，

即：，

解得：m＝或5（舍去5），

故點(diǎn)D（，）；

（4）設(shè)點(diǎn)M（2，m），而點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：（5，0）、（0，5），

則MB2＝9＋m2，MC2＝4＋（m5）2，BC2＝50，

①當(dāng)MB為斜邊時，則9＋m2＝4＋（m5）2＋50，解得：m＝7；

②當(dāng)MC為斜邊時，則4＋（m5）2=9＋m2+50，可得：m＝3；

③當(dāng)BC為斜邊時，則4＋（m5）2+9＋m2=50可得：m＝6或1；

綜上點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2，7）或（2，3）或（2，6）或（2，1）．