Question

如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A（0，1），B（1，0），M、N為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交直線EM于點(diǎn)P（x，y），且S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB．
（1）S_△AOB

 

S_矩形EOFP（填“＞”、“=”、“＜”），y與x的函數(shù)關(guān)系是

 

（不要求寫自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)x=

2

2

時(shí)，求∠MON的度數(shù)；
（3）證明：∠MON的度數(shù)為定值．

Answer 1

分析：（1）由于△AOB與矩形EOFP有公共部分五邊形OEMNF，而不同的部分是△AEM、△BFN和△PMN，若比較△AOB和矩形EOFP的面積大小，只需比較不同部分的面積大小即可，由已知得S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB，故兩者的面積相等；y與x的函數(shù)關(guān)系：可根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出矩形EPFO的面積，根據(jù)△AOB和矩形的面積相等，即可得到關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將x的值代入題（1）所得的函數(shù)關(guān)系式中，即可得到y(tǒng)的值，也就確定了P點(diǎn)的坐標(biāo)；過(guò)O作OH⊥AB于H，在等腰Rt△OAB中，通過(guò)解直角三角形，可求得AB、OH的長(zhǎng)，此時(shí)發(fā)現(xiàn)OH=OE，則可證得Rt△EMO≌Rt△HMO，由此可得∠1=∠2，同理可證得∠3=∠4，由于∠EOF=90°，則∠2+∠3=∠MON=45°，由此得解．
（3）方法同（2）類似，可用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，分別表示出EM、HN的長(zhǎng)，通過(guò)證△EMO∽△HNO，得到∠1=∠3，同理可通過(guò)證△MHO∽△NFO，得到∠2=∠4，而∠EOF=90°，即可得到∠MON=45°．

解答：解：（1）∵S_△MPN=S_△AEM+S_△NFB．
∴S_△AOB=S_矩形EOFP；（1分）
∵S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_矩形EOFP=

1

2

，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系是y=

1

2x

；（2分）

（2）當(dāng)x=

2

2

時(shí)，y=

1

2x

=

2

2

，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

2

2

，

2

2

)．（3分）
可得四邊形EOFP為正方形，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=1，
∴AB=

OA2+OB2

=

2

，H為AB的中點(diǎn)，
∴OH=

AB

2

=

2

2

．
在Rt△EMO和Rt△HMO中，

EO=HO= 2 2 OM=OM

∴Rt△EMO≌Rt△HMO．
∴∠1=∠2．（4分）
同理可證∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°．
即∠MON=45°．（5分）

（3）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB于H，
依題意，可得OE=y=

1

2x

，EM=1-y=1-

1

2x

，OH=

2

2

，HN=HB-NB=

2

2

-

2

(1-x)，
∴

EM

OE

=

HN

OH

，∠OEM=∠OHN=90°，
∴△EMO∽△HNO，
∴∠1=∠3．（6分）
同理可證∠2=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°即∠MON=45°．（7分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形、等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)；（2）（3）題中，通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造出與已知和所求相關(guān)的相似或全等三角形，是解答此題的關(guān)鍵．