Question

如圖，已知拋物線y=-

1

2

x2+(5-

m2

)x+m-3與x軸有兩個交點A，B，點A在x軸的正半軸上，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB．
（1）求m的值；
（2）求拋物線的表達式，并寫出拋物線的對稱軸和頂點C的坐標；
（3）問拋物線上是否存在一點M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB，結合圖象得出m-3＞0，5-

m2

=0，即可得出答案；
（2）利用（1）中m的值得出二次函數解析式，即可得出頂點坐標；
（3）根據A、B兩點的坐標分別為A（2，0），B（-2，0），得出△OAC是等腰直角三角形，假設存在一點M，使△MAC≌△OAC，進而得出M點的坐標，進而得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB
∴

m-3＞0 5- m2 =0

，
解得m=5（2分）；

（2）拋物線的表達式為y=-

1

2

x2+2（3分），
對稱軸是y軸，頂點C的坐標是（0，2）（5分）；

（3）令y=0，得-

1

2

x2+2=0，
解得：x=±2，
故A、B兩點的坐標分別為A（2，0），B（-2，0），
則△OAC是等腰直角三角形．（6分）
假設存在一點M，使△MAC≌△OAC．
∵AC為公共邊，OA=OC，
∴點M與點O關于直線AC對稱．（8分）
則四邊形OAMC是正方形，
∴M點的坐標為（2，2）（9分），
當x=2時，y=-

1

2

×22+2=0≠2，
∴點M（2，2）不在拋物線上，
即不存在點M，使△MAC≌△OAC．（11分）

點評：此題主要考查了二次函數圖象的性質以及頂點坐標的求法和等腰直角三角形的性質等知識，利用數形結合解決問題是這部分考查的重點，同學們應重點掌握．