Question

（2012•麗水）在直角坐標系中，點A是拋物線y=x²在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB⊥OA，交拋物線于點B，以OA、OB為邊構造矩形AOBC．

（1）如圖1，當點A的橫坐標為

-1

時，矩形AOBC是正方形；
（2）如圖2，當點A的橫坐標為-

1

2

時，
①求點B的坐標；
②將拋物線y=x²作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x²，試判斷拋物線y=-x²經過平移交換后，能否經過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點A作AD⊥x軸于點D，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，從而得到△AOD是等腰直角三角形，設點A坐標為（-a，a），然后利用點A在拋物線上，把點的坐標代入解析式計算即可得解；
（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明△AEO和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出OF與BF的關系，然后利用點B在拋物線上，設出點B的坐標代入拋物線解析式計算即可得解；
②過點C作CG⊥BF于點G，可以證明△AEO和△BGC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出點C的坐標，再根據(jù)對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數(shù)法求出過點A、B的拋物線解析式，把點C的坐標代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經過點C，如果經過點C，把拋物線解析式轉化為頂點式解析式，根據(jù)頂點坐標寫出變換過程即可．

解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，
∵矩形AOBC是正方形，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD=90°-45°=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
設點A的坐標為（-a，a）（a≠0），
則（-a）²=a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
∴點A的橫坐標-a=-1，
故答案為：-1；

（2）①過點A作AE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，
當x=-

1

2

時，y=（-

1

2

）²=

1

4

，
即OE=

1

2

，AE=

1

4

，
∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，
∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠BOF，
又∵∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴

OF

BF

=

AE

EO

=

1 4

1 2

=

1

2

，
設OF=t，則BF=2t，
∴t²=2t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴點B（2，4）；

②過點C作CG⊥FB的延長線于點G，
∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AOE=∠FBO，
∴∠EAO=∠CBG，
在△AEO和△BGC中，

∠AEO=∠G=90° ∠EAO=∠CBG AO=CB

，
∴△AEO≌△BGC（AAS），
∴CG=OE=

1

2

，BG=AE=

1

4

．
∴x_c=2-

1

2

=

3

2

，y_c=4+

1

4

=

17

4

，
∴點C（

3

2

，

17

4

），
設過A（-

1

2

，

1

4

）、B（2，4）兩點的拋物線解析式為y=-x²+bx+c，由題意得，

- 1 4 - 1 2 b+c= 1 4 -4+2b+c=4

，
解得

b=3 c=2

，
∴經過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2，
當x=

3

2

時，y=-（

3

2

）²+3×

3

2

+2=

17

4

，所以點C也在此拋物線上，
故經過A、B、C三點的拋物線解析式為y=-x²+3x+2=-（x-

3

2

）²+

17

4

．
平移方案：先將拋物線y=-x²向右平移

3

2

個單位，再向上平移

17

4

個單位得到拋物線y=-（x-

3

2

）²+

17

4

．

點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括正方形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，待定系數(shù)法求拋物線解析式，綜合性較強，難度較大，要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換，利用點研究線也是常用的方法之一．