Question

如圖，長(zhǎng)方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，8），B（1，6），C（7，6）．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)

（7，8）

．
（2）連接線段OB、OD、BD，請(qǐng)直接求出的面積

17

．
（3）若長(zhǎng)方形ABCD以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，△OBD的面積與長(zhǎng)方形ABCD的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)得出AB=DC，AD=BC，求出AD∥x軸，AB∥DC∥y軸，即可得出D的坐標(biāo)．
（2）延長(zhǎng)AB交x軸于M，延長(zhǎng)DC交x軸于N，求出OM=1，BM=6，DN=8，NM=AD=6，ON=7，求出S_△OBD=S_△BMO+S_梯形BMND-S_△DNO，代入求出即可．
（3）存在某一時(shí)刻，△OBD的面積與長(zhǎng)方形ABCD的面積相等，分為兩種情況：①當(dāng)在第一象限內(nèi)時(shí)，作AE⊥y軸，根據(jù)S_△OBD=S_△ODE-S_△ABD-S_梯形AEOB=12代入求出即可；②當(dāng)在第四象限時(shí)，作BM⊥y軸于M，根據(jù)S_△OBD=S_梯形CDOM-S_△BCD-S_△BOM=12代入求出即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵點(diǎn)A（1，8），B（1，6），C（7，6）．
∴AD∥x軸，AB∥DC∥y軸，
∴D的坐標(biāo)是（7，8），
故答案為：（7，8）．

（2）延長(zhǎng)AB交x軸于M，延長(zhǎng)DC交x軸于N，
∵A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8），
∵OM=1，BM=6，DN=8，NM=AD=7-1=6，ON=7，
∴S_△OBD=S_△BMO+S_梯形BMND-S_△DNO
=

1

2

×OM×BM+

1

2

×（BM+DN）×MN-

1

2

×DN×ON
=

1

2

×6×1+

1

2

×（6+8）×6-

1

2

×8×7
=17．
故答案為：17．

（3）存在某一時(shí)刻，△OBD的面積與長(zhǎng)方形ABCD的面積相等，
分為兩種情況：
①
當(dāng)在第一象限內(nèi)時(shí)，作AE⊥y軸，S_矩形ABCD=2×6=12，
則由：S_△OBD=S_△ODE-S_△ABD-S_梯形AEOB=12，

7(8-t)

2

-6-

(2+8-t)×1

2

=12，
t=

5

3

；
②
當(dāng)在第四象限時(shí)，作BM⊥y軸于M，
則有：S_△OBD=S_梯形CDOM-S_△BCD-S_△BOM=12，

7(2+t-6)

2

-6-

1×(t-6)

2

=12，
解得t=

29

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，梯形的面積，矩形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，用了方程思想．