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        1. 如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點O,且AC=80,BD=60.動點M、N分別以每秒1個單位的速度從點A、D同時出發(fā),分別沿A→O→D和D→A運動,當點N到達點A時,M、N同時停止運動.設運動時間為t秒.
          (1)求菱形ABCD的周長;
          (2)記△DMN的面積為S,求S關于t的解析式,并求S的最大值;
          (3)當t=30秒時,在線段OD的垂直平分線上是否存在點P,使得∠DPO=∠DON?若存在,這樣的點P有幾個?并求出點P到線段OD的距離;若不存在,請說明理由.

          【答案】分析:(1)根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì),求出菱形的周長;
          (2)在動點M、N運動過程中:①當0<t≤40時,如答圖1所示,②當40<t≤50時,如答圖2所示.分別求出S的關系式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值;
          (3)如答圖3所示,在Rt△PKD中,DK長可求出,則只有求出tan∠DPK即可.為此,在△ODM中,作輔助線,構造Rt△OND,作∠NOD平分線OG,則∠GOF=∠DPK.在Rt△OGF中,求出tan∠GOF的值,從而問題解決.解答中提供另外一種解法,請參考.
          解答:解:(1)在菱形ABCD中,
          ∵AC⊥BD
          ∴AD==50.
          ∴菱形ABCD的周長為200.

          (2)過點M作MP⊥AD,垂足為點P.
          ①當0<t≤40時,如答圖1,
          ∵sin∠OAD===
          ∴MP=AM•sin∠OAD=t.
          S=DN•MP=×t×t=t2;

          ②當40<t≤50時,如答圖2,MD=70-t,
          ∵sin∠ADO===,∴MP=(70-t).
          ∴S△DMN=DN•MP=×t×(70-t)=t2+28t=(t-35)2+490.
          ∴S=
          當0<t≤40時,S隨t的增大而增大,當t=40時,最大值為480.
          當40<t≤50時,S隨t的增大而減小,當t=40時,最大值為480.
          綜上所述,S的最大值為480.

          (3)存在2個點P,使得∠DPO=∠DON.
          方法一:如答圖3所示,過點N作NF⊥OD于點F,
          則NF=ND•sin∠ODA=30×=24,DF=ND•cos∠ODA=30×=18.
          ∴OF=12,∴tan∠NOD===2.
          作∠NOD的平分線交NF于點G,過點G作GH⊥ON于點H,則FG=GH.
          ∴S△ONF=OF•NF=S△OGF+S△OGN=OF•FG+ON•GH=(OF+ON)•FG.
          ∴FG===,
          ∴tan∠GOF===
          設OD中垂線與OD的交點為K,由對稱性可知:∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG
          ∴tan∠DPK===,
          ∴PK=
          根據(jù)菱形的對稱性可知,在線段OD的下方存在與點P關于OD軸對稱的點P′.
          ∴存在兩個點P到OD的距離都是

          方法二:答圖4所示,作ON的垂直平分線,交OD的垂直平分線EF于點I,連結OI,IN.
          過點N作NG⊥OD,NH⊥EF,垂足分別為G,H.
          當t=30時,DN=OD=30,易知△DNG∽△DAO,
          ,即
          ∴NG=24,DG=18.
          ∵EF垂直平分OD,
          ∴OE=ED=15,EG=NH=3.
          設OI=R,EI=x,則
          在Rt△OEI中,有R2=152+x2        ①
          在Rt△NIH中,有R2=32+(24-x)2     ②
          由①、②可得:
          ∴PE=PI+IE=
          根據(jù)對稱性可得,在BD下方還存在一個點P′也滿足條件.
          ∴存在兩個點P,到OD的距離都是
          (注:只求出一個點P并計算正確的扣(1分).)
          點評:本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識點,涉及考點較多,有一定的難度.第(2)問中,動點M在線段AO和OD上運動時,是兩種不同的情形,需要分類討論;第(3)問中,滿足條件的點有2個,注意不要漏解.
          練習冊系列答案
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          (1)求證:PA=PC.
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          (I)求證:AE=EF;
          (Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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