Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，DE⊥DB交AB于點(diǎn)E，⊙O是△BDE的外接圓，交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）連接EF，求

EF

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，證OD⊥AC即可．
（2）可通過△BEF∽△BCA，從而根據(jù)相似比求得EF：AC的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵∠C=90^o
∴∠DBC+∠BDC=90°
又∵BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC．
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴∠ODB+∠BDC=90^o
∴∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）解：∵DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，
∴BE是⊙O的直徑．
設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB²=BC²+CA²=9²+12²=225，
∴AB=15．
∵∠A=∠A，∠ADO=∠C=90^o
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

，即

15-r

15

=

r

9

．
∴r=

45

8

．
∴BE=

45

4

．
又∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BFE=90°
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用相似三角形得出線段間的比例關(guān)系進(jìn)而求出線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．