Question

已知a、b、c為△ABC的三邊，有

2b-c

a

=

2c-a

b

=

2a-b

c

=k，且滿足4b²-c²=2bc+c²．
（1）求k的值；
（2）試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）對(duì)原等式進(jìn)行整理，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系不難求得k的值；
（2）對(duì)4b²-c²=2bc+c²整理可得b=c，再代入

2b-c

a

=

2c-a

b

=

2a-b

c

=k即可得到a=c，從而得到該三角形是個(gè)等邊三角形．

解答：解：（1）根據(jù)題意有：2b-c=ka，2c-a=kb，2a-b=kc
∴a+b+c=k（a+b+c），
∵a、b、c為△ABC的三邊，
∴a+b+c≠0，
∴k=1．
（2）∵4b²-c²=2bc+c²，
∴（4b²-c²）-（2bc+c²）=0，
（2b+c）（2b-c）-c（2b+c）=0，
2（2b+c）（b-c）=0，
∵2b+c≠0，
∴b-c=0即b=c，
∵k=

2b-c

a

=

2c-c

a

=

c

a

=1，
∴a=c，即a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系及等邊三角形的判定的綜合運(yùn)用．