Question

將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，AC與BD相交于點E，連接CD．

（1）如圖①，若以AB所在直線為x軸，過A垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，請你求出過A、B、C、D四點的拋物線的解析式；
（2）如圖②，保持△ABD不動，將△ABC向x軸的正方向平移到△FGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點P，設(shè)AF=x，△FBP面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，求出A、B、C、D四點的坐標(biāo)，利用A、B兩點設(shè)出兩點式解析式，代入C點求出，再代入D點驗證，也可代入D點求出，用C點驗證；
（2）作PM⊥AB，進一步利用有一角是30°的直角三角形的特性和勾股定理，用x表示出BF，再利用△HFG∽△MFP，用x表示出PM，最后運用三角形的面積求得．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠BAC=∠DBA=30°，AB=8，
∴A、B、C、D四點的坐標(biāo)分別是：（0，0）、（8，0）、（6，2

3

）、（2，2

3

），
設(shè)：過A、B、C、D四點的拋物線的解析式為：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵A、B兩點坐標(biāo)為（0，0）、（8，0），
∴解析式為：y=a（x-0）（x-8）=ax（x-8），
∵D點的坐標(biāo)是：（2，2

3

），
∴代入解析式得：2

3

=2a（2-8），
解得a=-

3

6

，
∴解析式為：y=-

3

6

x2+

4 3

3

x，
∵C點坐標(biāo)是（6，2

3

），
把x=6代入解析式得：y=-6

3

+8

3

=2

3

，
∴C點在過A、B、D三點的拋物線上，
∴過A、B、C、D四點的拋物線的解析式是y=-

3

6

x2+

4 3

3

x．

（2）如圖，
過點P做PM⊥AB垂足為M，
∴∠PMF=90°
在△FHG中，∠GHF=90°，∠GFH=30°，F(xiàn)G=8，
∴HG=4，
∴根據(jù)勾股定理得：FH=4

3

，
∵∠PMF=∠GHF=90°，∠HFG=∠MFP=30°，
∴△HFG∽△MFP，
∴

MP

HG

=

FM

FH

，
∵∠PFM=∠PBM=30°，
∴PF=PB，
∵PM⊥AB，
∴FM=

1

2

FB，
∵AF=x，AB=8，
∴FB=8-x，
∴FM=

8-x

2

，
由

MP

HG

=

FM

FH

可知，
.MP=

4× 8-x 2

4 3

=

8-x

2 3

=

8 3 - 3 x

6

，
∴y=

1

2

(8-x)×

8 3 - 3 x

6

，
即：y=

3

12

x2-

4 3

3

x+

16 3

3

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=

3

12

x2-

4 3

3

x+

16 3

3

．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點．