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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          如圖,在△ABC中,AB=2,AC=BC= 5 .

          (1)以AB所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系如圖,請你分別寫出A、B、C三點的坐標;

          (2)求過A、B、C三點且以C為頂點的拋物線的解析式;

          (3)若D為拋物線上的一動點,當D點坐標為何值時,S△ABD=S△ABC;

          (4)如果將(2)中的拋物線向右平移,且與x軸交于點A′B′,與y軸交于點C′,當平移多少個單位時,點C′同時在以A′B′為直徑的圓上(解答過程如果有需要時,請參看閱讀材料).

          附:閱讀材料

          一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法,對于一些特殊方程可以通過換元法轉化為一元二次方程求解.如解方程:y4-4y2+3=0.

          解:令y2=x(x≥0),則原方程變?yōu)閤2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.

          當x1=1時,即y2=1,∴y1=1,y2=-1.

          當x2=3,即y2=3,∴y3= 3 ,y4=- 3 .

          所以,原方程的解是y1=1,y2=-1,y3= 3 ,y4=- 3 .

          再如 ,可設 ,用同樣的方法也可求解.

          【考點】二次函數綜合題.

          【分析】(1)根據y軸是AB的垂直平分線,則可以求得OA,OB的長度,在直角△OAC中,利用勾股定理求得OC的長度,則A、B、C的坐標即可求解;

          (2)利用待定系數法即可求得二次函數的解析式;

          (3)首先求得△ABC的面積,根據S△ABD= S△ABC,以及三角形的面積公式,即可求得D的縱坐標,把D的縱坐標代入二次函數的解析式,即可求得橫坐標.

          (4)設拋物線向右平移c個單位長度,則0<c≤1,可以寫出平移以后的函數解析式,當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有:OC′2=OA•OB,據此即可得到一個關于c的方程求得c的值.

          【解答】解:(1)∵AB的垂直平分線為y軸,

          ∴OA=OB=AB=×2=1,

          ∴A的坐標是(-1,0),B的坐標是(1,0).

          在直角△OAC中,

          則C的坐標是:(0,2);

          (2)設拋物線的解析式是:y=ax2+b,

          根據題意得: ,解得:  ,

          則拋物線的解析式是:;

          (3)∵S△ABC=AB•OC=×2×2=2,

          ∴S△ABD=S△ABC=1.

          設D的縱坐標是m,則AB•|m|=1,

          則m=±1.

          當m=1時,-2x2+2=1,解得:x=±,

          當m=-1時,,-2x2+2=-1,解得:x=± ,

          則D的坐標是:(,1)或(- ,1)或(,-1),或(- ,-1).

          (4)設拋物線向右平移c個單位長度,則0<c≤1,OA′=1-c,OB′=1+c.

          平移以后的拋物線的解析式是:y=-2(x-c)2+b.

          令x=0,解得y=-2c2+2.即OC′= -2c2+2.

          當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有:OC′2=OA′•OB′,

          則(-2c2+2)2=(1-c)(1+c),

          即(4c2-3)(c2-1)=0,

          解得:c=(舍去),1,(舍去).

          故平移 或1個單位長度.

          【點評】本題考查了勾股定理,待定系數法求二次函數的解析式,以及圖象的平移,正確理解:當點C′同時在以A′B′為直徑的圓上時有:OC′2=OA•OB,是解題的關鍵.

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