Question

如圖1，矩形MNPQ中，點E，F，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB＝4，BC＝8．

理解與作圖：

(1)在圖2，圖3中，點E，F分別在BC，CD邊上，試利用正方形網格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．

計算與猜想：

(2)求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長是否為定值？

啟發(fā)與證明：

(3)如圖4，為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M，試利用小華同學給我們的啟發(fā)證明(2)中的猜想．

Answer 1

答案：
解析：

(1)作圖如下：2分 　　(2)解：在圖2中，， 　　∴四邊形EFGH的周長為．3分 　　在圖3中，，． 　　∴四邊形EFGH的周長為．4分 　　猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值．5分 　　(3)證法一：延長GH交CB的延長線于點N． 　　∵，， 　　∴． 　　而， 　　∴Rt△FCE≌Rt△FCM． 　　∴，．6分 　　同理：，． 　　∴．7分 　　∵，， 　　∴． 　　∴．8分 　　過點G作GK⊥BC于K，則．9分 　　∴． 　　∴四邊形EFGH的周長為．10分 　　證法二：∵，，∴． 　　而，∴Rt△FCE≌Rt△FCM． 　　∴，．6分 　　∵，， 　　而，∴． 　　∴HE∥GF．同理：GH∥EF． 　　∴四邊形EFGH是平行四邊形．7分 　　∴．而， 　　∴Rt△FDG≌Rt△HBE． 　　∴．8分 　　過點G作GK⊥BC于K，則．9分 　　∴． 　　∴四邊形EFGH的周長為．10分