Question

【題目】已知關于x的一元二次方程(a﹣1)x2+(2﹣3a)x+3＝0．

(1)直線l：y＝mx+n交x軸于點A，交y軸于點B，其中m，n(m＜n)是此方程的兩根，并且＝．坐標原點O關于直線l的對稱點O′在反比例函數y＝的圖象上，求反比例函數y＝的解析式；

(2)在(1)成立的條件下，將直線l繞點A逆時針旋轉角θ(00＜θ＜450)，得到直線l′，l′交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與上述反比例函數y＝的圖象交于點Q，當四邊形APQO′的面積為9﹣時，求θ的值．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣；(2)旋轉角度θ為15°．

【解析】

(1)先利用求根公式求出兩根的和與積，，再代入+=，可得到a＝2，則m＝1，n＝3，直線l：y＝x+3，這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點，代入反比例函數y＝，即可確定反比例函數y＝的解析式；

(2)延長PQ，AO′交于點G，設P(0，p)，則Q(﹣，p)．四邊形APQO'的面積＝S△APG﹣S△QGO′＝9﹣，這樣可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO＝60°，這樣就可求出θ．

解：(1)∵m，n(m＜n)是此方程的兩根，

∴m+n＝，mn＝．

∵+=，＝，

∴﹣＝，

∴a＝2，即可求得m＝1，n＝3．

∴y＝x+3，則A(﹣3，0)，B(0，3)，

∴△ABO為等腰直角三角形，

∴坐標原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為(﹣3，3)，把(﹣3，3)代入反比例函數y＝，得k＝﹣9，

所以反比例函數的解析式為y＝﹣；

(2)設點P的坐標為(0，p)，延長PQ和AO′交于點G．

∵PQ∥x軸，與反比例函數圖象交于點Q，

∴四邊形AOPG為矩形．

∴Q的坐標為(﹣，p)，

∴G(﹣3，P)，

當0°＜θ＜45°，即p＞3時，

∵GP＝3，GQ＝3﹣，GO′＝p﹣3，GA＝p，

∴S四邊形APQO′＝S△APG﹣S△QGO′＝×p×3﹣×(3﹣)×(p﹣3)＝9﹣，

∴9﹣＝9﹣，

∴p＝．(合題意)

∴P(0，)．則AP＝6，OA＝3，

∴tan∠PAO＝＝，

∴∠PAO＝60°，∠θ＝60°﹣45°＝15°；

當θ＝45°時，直線l于y軸沒有交點；

當45°＜θ＜90°，則p＜﹣3，

用同樣的方法也可求得p＝，這與p＜﹣3相矛盾，舍去．

所以旋轉角度θ為15°．