Question

【題目】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=6，點(diǎn)C，D在⊙O上，且CD平分∠ACB，∠CAB=60°．

（1）求BC及陰影部分的面積；
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

在Rt△ACB中，

∵∠CAB=60°，AB=6，

∴BC=ABsin∠CAB=6× =3 ，∠CBA=30°，

如圖1，連接OC，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，

在Rt△BCE中，CE=BCsin∠CBA=3 × ，

陰影部分的面積=S扇形OBC﹣S△OBC= ×π×9﹣ ×3=3π﹣ ；

（2）解：連接AD，

∵∠ABC=30°，

∴∠ADC=∠ABC=30°，

在△CAD中，AC=3，∠ACD=45°，

過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，在Rt△AFC中，AF=CF= ，

在Rt△AFD中，

∵DF= AF= ，

∴CD=CF+FD= + ．

【解析】（1）求陰影弓形的面積用扇形的面積減去三角形的面積。
（2）根據(jù)同弦所對的圓周角相等，構(gòu)建有兩個(gè)特殊角的三角形。CD平分∠ACB，所以有∠ACD=45°，然后作AF⊥CD，知AC邊，求CD。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了圓周角定理和互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；互余關(guān)系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)才能正確解答此題．