Question

【題目】如圖在矩形中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，，連接，. 動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)出發(fā)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)出發(fā)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接、、，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；

（2）求證：四邊形為平行四邊形；

（3）探索當(dāng)為何值時(shí)，與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）或.

【解析】

（1）由推出，根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一般，可得到；

（2）由一組對(duì)邊平行且相等可判定；

（3）由可得，由于兩相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不能確定，故分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，則，②當(dāng)時(shí)，則.

（1）∵，

∴，

∵是直角三角形，

∴，

（2）∵動(dòng)點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

（3）在直角三角形中， ，

，

∴.

∵，

∴.

分兩種情況:

①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，即四邊形是平行四邊形，

∴，而，，

∴，解得；

②當(dāng)時(shí)，則，

∴，即，

∵四邊形是平行四邊形，即，

又，

∴，解得

綜上所述， 或.