Question

如圖，直線y=

3

3

x+b經過點B（-

3

，2），且與x軸交于點A，將拋物線y=

1

3

x²沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．
（1）求∠BAO的度數；
（2）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F，當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式；
（3）在拋物線y=

1

3

x²平移過程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點D能否落在拋物線C上？如能，求出此時拋物線C頂點P的坐標；如不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為點B（-

3

，2）在直線y=

3

3

x+b上，所以把B點坐標代入解析式即可求出未知數的值，進而求出其解析式．根據直線解析式可求出A點的坐標及直線與y軸交點的坐標，根據銳角三角函數的定義即可求出∠BAO的度數．
（2）根據拋物線平移的性質可設出拋物線平移后的解析式，由拋物線上點的坐標特點求出E點坐標及對稱軸直線，根據EF∥x軸可知E，F(xiàn)，兩點關于對稱軸直線對稱，可求出F點的坐標，把此坐標代入（1）所求的直線解析式就可求出未知數的值，進而求出拋物線C的解析式．
（3）根據特殊角求出D點的坐標表達式，將表達式代入解析式，看能否計算出P點坐標，若能，則D點在拋物線C上．反之，不在拋物線上．

解答：解：（1）設直線與y軸交于點N，
將x=-

3

，y=2代入y=

3

3

x+b得b=3，
∴y=

3

3

x+3，
當x=0時，y=3，當y=0時x=-3

3

∴A（-3

3

，0），N（0，3）；
∴OA=3

3

，ON=3，
∴tan∠BAO=

ON

OA

=

3

3

∴∠BAO=30°，

（2）設拋物線C的解析式為y=

1

3

（x-t）²，則P（t，0），E（0，

1

3

t²），
∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據拋物線的對稱性可知F（2t，

1

3

t²），
把x=2t，y=

1

3

t²代入y=

3

3

x+3
得

2 3

3

t+3=

1

3

t²
解得t₁=-

3

，t₂=3

3

（1分）
∴拋物線C的解析式為y=

1

3

（x-3

3

）²或y=

1

3

（x+

3

）²．

（3）假設點D落在拋物線C上，
不妨設此時拋物線頂點P（m，0），則拋物線C：y=

1

3

（x-m）²，AP=3

3

+m，
連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，
又∵∠BAO=30°，
∴△PAD為等邊三角形，
PM=AM=

1

2

（3

3

+m），
∴tan∠DAM=

DM

AM

=

3

，
∴DM=

1

2

（9+

3

m），
OM=PM-OP=

1

2

（3

3

+m）-m=

1

2

（3

3

-m），
∴M=[-

1

2

（3

3

-m），0]，
∴D[-

1

2

（3

3

-m），

1

2

（9+

3

m）]，
∵點D落在拋物線C上，
∴

1

2

（9+

3

m）=

1

3

[-

1

2

（3

3

-m）-m]²，即m²=27，m=±3

3

；
當m=-3

3

時，此時點P（-3

3

，0），點P與點A重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去．
當m=3

3

時P為（3

3

，0）此時可以構成△DAB，
所以點P為（3

3

，0），
∴當點D落在拋物線C上，頂點P為（3

3

，0）．

點評：此題將拋物線與直線相結合，涉及到動點問題，翻折變換問題，有一定的難度．尤其（3）題是一道開放性問題，需要進行探索．要求同學們有一定的創(chuàng)新能力．