Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是AB邊上的一點，以DE為邊作正方形DEFG，DF與BC交于點M，延長EM交GF于點H，EF與GB交于點N，連接CG.

（1）求證：CD⊥CG；

（2）若tan∠MEN=，求的值；

（3）已知正方形ABCD的邊長為1，點E在運動過程中，EM的長能否為？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）EM長不可能為.理由見解析.

【解析】

（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，即∠ADE=∠CDG，由SAS證明△ADE≌△CDG得出∠A=∠DCG=90°，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△EDM≌△GDM，得出∠DME=∠NMF，，再證明△DME∽△FMN，得出，，在Rt△EFH中，tan∠HEF=，所以；

（3）假設(shè)EM= ，先判斷出點G在BC的延長線上，同（2）的方法得，EM=GM=，得出GM=,再判斷出BM＜，得出CM＞，進而得出CM＞GM，即可得出結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠A=∠DCG=90°，
∴CD⊥CG；

（2）解：

∵CD⊥CG，DC⊥BC，

∴G、C、M三點共線

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DG=DE，∠EDM=∠GDM=45°，

又∵DM=DM

∴△EDM≌△GDM，

∴∠DME=∠DMG

又∠DMG=∠NMF，

∴∠DME=∠NMF，

又∵∠EDM=∠NFM=45°

∴△DME∽△FMN，

∴

又∵DE∥HF，

∴，

又∵ED=EF，

∴

在Rt△EFH中，tan∠HEF=，

∴

（3）EM的長不可能為。

理由：假設(shè)EM的長為，

∵點E是AB邊上一點，且∠EDG=∠ADC=90°，
∴點G在BC的延長線上，
同（2）的方法得，EM=GM=，

∴GM=，

在Rt△BEM中，EM是斜邊，
∴BM＜

∵正方形ABCD的邊長為1，
∴BC=1，
∴CM＞

∴CM＞GM，
∴點G在正方形ABCD的邊BC上，與“點G在BC的延長線上”相矛盾，
∴假設(shè)錯誤，
即：EM的長不可能為