Question

如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿著直線l滾動(dòng)．
（1）當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A₁B₁C₁的位置，此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為

 

；約為

 

；（精確到0.1，π=3.14…）
（2）設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置為C′，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置為A′．請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由圖形可以看出，△ABC滾動(dòng)的軌跡正好為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng)；
（2）先求出正三角形的高，再利用三角函數(shù)求出tan∠CAC’與tan∠CAA′的值，然后通過(guò)等量代換求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A₁B₁C₁的位置，此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng)，
即A點(diǎn)的路程長(zhǎng)為：2×

1

3

×2×3.14×2=8.37758；
約為8.4．

（2）設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置為C’，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置為A′．
∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2
∴正△ABC的高為

3

tan∠CAC′=

3

2+2+1

=

3

5

tan∠CAA′=

3

4×2+1

=

3

9

所以：由公式tan（α+β）=（tanα+tanβ）÷（1-tanα•tanβ），
得：tan（∠CAC′+∠CAA′）
=（tan∠CAC′+tan∠CAA′）÷（1-tan∠CAC′•tan∠CAA′）
=（

3

5

+

3

9

）÷（1-

3

5

×

3

9

）
=

3

3

．
所以：∠CAC′+∠CAA′=30°．

點(diǎn)評(píng)：正確判斷△ABC滾動(dòng)的軌跡，利用轉(zhuǎn)化思想和等量代換思想是解答此題的關(guān)鍵．