Question

如圖1，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接AF、CE．
（1）求證：△BEC≌△DFA；
（2）連接AC，當(dāng)CA=CB時(shí)，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．如圖2，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的點(diǎn)，CE=AF． 請(qǐng)你猜想：BE與DF有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？并對(duì)你的猜想加以證明．

Answer 1

分析：（1）由在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，利用SAS即可判定：△BEC≌△DFA；
（2）易證得四邊形AECF是平行四邊形，又由CA=CB，E是AB的中點(diǎn)，解得CE⊥AB，繼而證得四邊形AECF是矩形；
易證得△ADF≌△CBE，則可證得BE=DF，BE∥DF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD，
在△BEC和△DFA中，

BC=DA ∠B=∠D BE=DF

，
∴△BEC≌△DFA（SAS）；

（2）四邊形AECF是矩形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∵AE=CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CA=CB，E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

猜想：BE=DF，且BE∥DF；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，

AD=CB ∠DAF=∠BCE AF=CE

，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
∴BE=DF，∠AFD=∠CEB．
∴BE∥DF．
∴BE=DF，且BE∥DF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．