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        1. 如圖,四邊形ABCD位于平面直角坐標系的第一象限,B、C在x軸上,A點函數(shù)y=
          2
          x
          上,且AB∥CD∥y軸,AD∥x軸,B(1,0)、C(3,0).
          (1)試判斷四邊形ABCD的形狀;
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          (2)若點P是線段BD上一點PE⊥BC于E,M是PD的中點,連EM、AM.求證:AM=EM;
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          (3)在圖(2)中,連接AE交BD于N,則下列兩個結(jié)論:
          BN+DM
          MN
          值不變;
          BN2+DM2
          MN2
          的值不變.其中有且僅有一個是正確的,請選擇正確的結(jié)論證明并求其值.
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          分析:(1)由AB∥CD∥y軸,AD∥x軸,可得:四邊形ABCD為矩形,根據(jù)A點函數(shù)為y=
          2
          x
          ,可得:AB=BC,從而可證:四邊形ABCD為正方形;
          (2)作輔助線,延長EM交CD的延長線于G,連AE、AG,由PM=DM,∠PEM=∠DGM,∠PME=∠DMG,可證:△PME≌△DMG,可得:EM=MG,PE=GD,同理,可證:△ABE≌△ADG,可得:∠GAE=90°,從而可證:AM=
          1
          2
          EG=EM;
          (3)作輔助線,在圖2的AG上截取AH=AN,連DH、MH,由AB=AD,AN=AH,∠BAN=∠DAH,可證:△ABN≌△ADH,BN=DH,∠ADH=∠ABN=45°,可得:∠HDM=90°,HM2=HD2+MD2,同理可證:△AMN≌△AMH,MH=MN,可得:MN2=DM2+BN2,故:
          BN2+DM2
          MN2
          =1為定值.
          解答:精英家教網(wǎng)解:
          (1)∵AB∥CD∥y軸,AD∥x軸,
          ∴四邊形ABCD為矩形,
          當(dāng)x=1時,y=AB=2,
          ∴AB=2,
          ∵BC=2,
          ∴AB=BC,
          ∴四邊形ABCD是正方形.

          (2)證明:延長EM交CD的延長線于G,連AE、AG,
          ∵PE∥GC∴∠PEM=∠DGM,
          又∵∠PME=∠GMD,PM=DM,精英家教網(wǎng)
          ∴△PME≌△DMG,
          ∴EM=MG,PE=GD,
          ∵PE=BE,
          ∴BE=GD,
          在Rt△ABE與Rt△ADG中,
          AB=AD,BE=GD,∠ABE=∠ADG=90°,
          ∴Rt△ABE≌Rt△ADG,
          ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
          ∴∠GAE=90°,
          ∴AM=
          1
          2
          EG=EM.

          (3)
          BN2+DM2
          MN2
          的值不變,值為1.理由如下:
          在圖2的AG上截取AH=AN,連DH、MH,
          精英家教網(wǎng)
          ∵AB=AD,AN=AH,
          由(2)知∠BAN=∠DAH,
          ∴△ABN≌△ADH,
          ∴BN=DH,∠ADH=∠ABN=45°,
          ∴∠HDM=90°,
          ∴HM2=HD2+MD2,
          由(2)知∠NAM=∠HAM=45°,
          又AN=AH,AM=AM,
          ∴△AMN≌△AMH,
          ∴MN=MH,
          ∴MN2=DM2+BN2,
          BN2+DM2
          MN2
          =1.
          點評:在解題過程中要充分利用正方形的特殊性質(zhì),注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用,在解本題時要多次運用三角形全等的判定定理.
          練習(xí)冊系列答案
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          (I)求證:AE=EF;
          (Ⅱ)若將條件中的“點E是BC的中點”改為“E是BC上任意一點”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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          同步練習(xí)冊答案