Question

如圖，四邊形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，B、C在x軸上，A點(diǎn)函數(shù)y=

2

x

上，且AB∥CD∥y軸，AD∥x軸，B（1，0）、C（3，0）．
（1）試判斷四邊形ABCD的形狀；

（2）若點(diǎn)P是線(xiàn)段BD上一點(diǎn)PE⊥BC于E，M是PD的中點(diǎn)，連EM、AM．求證：AM=EM；

（3）在圖（2）中，連接AE交BD于N，則下列兩個(gè)結(jié)論：
①

BN+DM

MN

值不變；
②

BN2+DM2

MN2

的值不變．其中有且僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇正確的結(jié)論證明并求其值．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD∥y軸，AD∥x軸，可得：四邊形ABCD為矩形，根據(jù)A點(diǎn)函數(shù)為y=

2

x

，可得：AB=BC，從而可證：四邊形ABCD為正方形；
（2）作輔助線(xiàn)，延長(zhǎng)EM交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，連AE、AG，由PM=DM，∠PEM=∠DGM，∠PME=∠DMG，可證：△PME≌△DMG，可得：EM=MG，PE=GD，同理，可證：△ABE≌△ADG，可得：∠GAE=90°，從而可證：AM=

1

2

EG=EM；
（3）作輔助線(xiàn)，在圖2的AG上截取AH=AN，連DH、MH，由AB=AD，AN=AH，∠BAN=∠DAH，可證：△ABN≌△ADH，BN=DH，∠ADH=∠ABN=45°，可得：∠HDM=90°，HM²=HD²+MD²，同理可證：△AMN≌△AMH，MH=MN，可得：MN²=DM²+BN²，故：

BN2+DM2

MN2

=1為定值．

解答：解：
（1）∵AB∥CD∥y軸，AD∥x軸，
∴四邊形ABCD為矩形，
當(dāng)x=1時(shí)，y=AB=2，
∴AB=2，
∵BC=2，
∴AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形．

（2）證明：延長(zhǎng)EM交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，連AE、AG，
∵PE∥GC∴∠PEM=∠DGM，
又∵∠PME=∠GMD，PM=DM，
∴△PME≌△DMG，
∴EM=MG，PE=GD，
∵PE=BE，
∴BE=GD，
在Rt△ABE與Rt△ADG中，
AB=AD，BE=GD，∠ABE=∠ADG=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠GAE=90°，
∴AM=

1

2

EG=EM．

（3）

BN2+DM2

MN2

的值不變，值為1．理由如下：
在圖2的AG上截取AH=AN，連DH、MH，

∵AB=AD，AN=AH，
由（2）知∠BAN=∠DAH，
∴△ABN≌△ADH，
∴BN=DH，∠ADH=∠ABN=45°，
∴∠HDM=90°，
∴HM²=HD²+MD²，
由（2）知∠NAM=∠HAM=45°，
又AN=AH，AM=AM，
∴△AMN≌△AMH，
∴MN=MH，
∴MN²=DM²+BN²，
即

BN2+DM2

MN2

=1．

點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，在解本題時(shí)要多次運(yùn)用三角形全等的判定定理．