Question

如圖①，用量角器度量∠AOB的度數時，把量角器的圓心和角的頂點重合，零刻度線和角的一條邊OA重合，角的另一條邊OB落在讀數為130°的刻度線上，連接AB，則∠BAO=

 

（度）；
如圖②，在矩形ABCD中，AB=3、AD=2，點E、F分別在AB、DC上，AE=DF=2．把一塊直徑為2的量角器（圓心為O）放置在圖形上，使其零刻度線MN與EF重合．若將量角器零刻度線上的端點N固定在點F上，再把量角器繞點F順時針方向旋轉∠α（0°＜α＜90°），此時量角器的半圓弧與EF相交于點P，設點P處量角器的讀數為n°．
（Ⅰ）用含n的代數式表示∠α的大小．∠α=

 

；
（Ⅱ）當n=

 

時，線段PC與M′F平行．

Answer 1

分析：①根據三角形的內角和定理以及等腰三角形的性質進行求解；
②（I）連接O′P，根據圓周角定理進行求解；
（II）連接M′P，則四邊形PCFM′是平行四邊形．根據題意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．在直角三角形PCF中，根據接直角三角形的知識求得∠CPF的度數，即為∠α的度數，再進一步結合（I）的結論求解．

解答：解：（Ⅰ）①∵∠AOB=130°，OA=OB，
∴∠BAO=∠ABO=

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2

（180°-130°）=25°；

②（I）連接O′P．
∵∠MO′P=180°-n°，
∴∠α=90°-

1

2

n°；

（II）連接M′P，則四邊形PCFM′是平行四邊形．
根據題意，得PC=M′F=EF=2，CF=1．
在直角三角形PCF中，PC=2CF，
則∠CPF=30°，
即∠α=30°，
結合（I）的結論，得n=120°．
故答案為25°；90°-

1

2

n°；120°．

點評：此題綜合運用了圓周角定理、平行四邊形的判定及性質、解直角三角形的知識．
注意：在直角三角形中，如果斜邊是一條直角邊的2倍，則這條直角邊所對的角是30°．