Question

在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG．

（1）如圖1，則線(xiàn)段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？
（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2；將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖3，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立請(qǐng)選擇三圖中任一圖加以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BD于G交CD于H，通過(guò)條件證明△EFG≌△CHG，就可以得出結(jié)論EG=CG，EG⊥CG；
（2）作GH⊥BC于H，根據(jù)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理就可以得出EH=CH，再根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)就可以得出EG=EC，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥BD于G交CB于P，最后通過(guò)證明三角形全等就可以得出結(jié)論EG⊥CG；

解答：（1）EG=CG，且EG⊥CG．
證明：過(guò)GH⊥AB于點(diǎn)H，延長(zhǎng)HG交CD于點(diǎn)I，作GK⊥AD于點(diǎn)K．
則四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，
∴AK=HG，KD=DI=GI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HG，
∵AD∥GH∥EF，G是DF的中點(diǎn)，
∴HA=HE，
∴HE=GI，
∵在Rt△HGE和Rt△ICG中，

HE=GI ∠GHE=∠CIG HG=IC

，
∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），
∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，
∴∠HGE+∠CGI=90°，
∴∠EGC=90°，
∴EG⊥CG；

（2）成立．  
證明：圖2中，作GH⊥BC，
則EF∥GH∥CD，
又∵G是DF的中點(diǎn)，
∴EH=CH，
則GH是BC的中垂線(xiàn)，
∴GE=CG，
∵EF=EB，BC=CD
∴EF+CD=EC，
∵G是DF的中點(diǎn)，EH=CH，
則GH=

1

2

（EF+CD），
∴GH=

1

2

EC，
∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG，且EG⊥CG；
圖3中，延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四邊形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由圖（2）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF為等腰直角三角形
∴BE=EF，∠F=45°．
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，F(xiàn)G=DG
∴MG=

1

2

FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴EF+EM=CM+DC，
即FM=DM，
又∵FG=DG，
∠CMG=

1

2

∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∵在△GFE和△GMC中，

FG=MG ∠F=∠GMC EF=CM

，
∴△GFE≌△GMC（SAS）．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．         
∵∠FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點(diǎn)，因此難度較大．