Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．
（Ⅰ）試用含a的代數(shù)式分別表示b，c；
（Ⅱ）若直線y=kx+4（k≠0）與y軸及該拋物線的交點(diǎn)依次為D、E、F，且

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試用含a的代數(shù)式表示k；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若線段EF的長m滿足3

2

≤m≤3

5

，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來表示出拋物線的解析式，展開后即可得出b、c的表達(dá)式；
（Ⅱ）可先聯(lián)立直線與拋物線的解析式，可得出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么這個(gè)方程的解即為E、F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，那么可根據(jù)△ODE和△OEF的面積比以及韋達(dá)定理來求k的表達(dá)式；
（Ⅲ）可根據(jù)E、F的坐標(biāo)，運(yùn)用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式表示出m，然后根據(jù)韋達(dá)定理和m的取值范圍來求出a的取值范圍．

解答：解：（I）由已知，可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y=a（x-2）²+4（a≠0），
即y=ax²-4ax+4a+4．
∴b=-4a，c=4a+4；
（II）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由方程組

y=kx+4 y=ax2-4ax+4a+4

消去y，
得ax²-（4a+k）x+4a=0  （*），
∴x₁+x₂=

4a+k

a

①，
x₁•x₂=4 ②，
又∵

S△ODE

S△OEF

=

1

3

，
∴

S△ODE

S△ODF

=

1

4

，
∴

DE

DF

=

1

4

，
∴|

x1

x2

|=

1

4

，
即|x₂|=4|x₁|，
由②，知x₁與x₂同號，
∴x₂=4x₁③，
由②、③，
得x₁=1，x₂=4；x₁=-1，x₂=-4，
將上面數(shù)值代入①，
得

4a+k

a

=±5，
解得k=a或k=-9a，
經(jīng)驗(yàn)證，方程（*）的判別式△＞0成立，
∴k=a或k=-9a；
（III）∵m²=（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，
而（x₂-x₁）²=9，
由y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，
得（y₂-y₁）²=k²（x₂-x₁）²=9k²，
∴m²=9（1+k²），
即m=3

1+k2

，
由已知3

2

≤m≤3

5

，
∴

2

≤

1+k2

≤

5

，
即1≤k²≤4，
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1，
當(dāng)k=a時(shí)，有1≤a≤2或-2≤a≤-1，
當(dāng)k=-9a時(shí)，有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1，
即-

2

9

≤a≤-

1

9

或

1

9

≤a≤

2

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，以及一元二次方根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)．