Question

【題目】如圖所示，菱形ABCD位于平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過菱形的三個頂點A、B、C，已知A（﹣3，0）、B（0，﹣4）．

（1）求拋物線解析式；

（2）線段BD上有一動點E，過點E作y軸的平行線，交BC于點F，若S△BOD＝4S△EBF，求點E的坐標(biāo)；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點E的坐標(biāo)為（1，﹣2）；（3）存在，P的坐標(biāo)為或.

【解析】

（1）由點A，B的坐標(biāo)可得出AB的長度，利用菱形的性質(zhì)結(jié)合點B的坐標(biāo)可得出點C的坐標(biāo)，再由點A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線解析式；

（2）由EF∥OB，AD∥BC可得出∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，進(jìn)而可得出△BOD∽△EFB，利用相似三角形的性質(zhì)及S△BOD＝4S△EBF，可得出BF＝1，由點B，D的坐標(biāo)，利用待定相似法可求出直線BD的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點E的坐標(biāo)；

（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸為直線x＝，設(shè)點P的坐標(biāo)為（，m），結(jié)合點B，D的坐標(biāo)可得出BD2，BP2，DP2的值，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝＝5．

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD∥BC，BC＝AB＝5，

∴點C的坐標(biāo)為（5，﹣4）．

將A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（5，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線解析式為．

（2）∵EF∥OB，AD∥BC，

∴∠OBD＝∠FEB，∠ODB＝∠FBE，

∴△BOD∽△EFB，

∴．

∵S△BOD＝4S△EBF，

∴OD＝2BF．

∵AD＝AB＝5，OA＝3，

∴OD＝2，

∴點D的坐標(biāo)為（2，0），BF＝1．

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+d（k≠0），

將B（0，﹣4），D（2，0）代入y＝kx+d，得：

，解得：，

∴直線BD的解析式為y＝2x﹣4．

當(dāng)x＝1時，y＝2x﹣4＝﹣2，

∴點E的坐標(biāo)為（1，﹣2）．

（3）∵拋物線解析式為，

∴拋物線的對稱軸為直線．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（，m），

∵點B的坐標(biāo)為（0，﹣4），點D的坐標(biāo)為（2，0），

∴BP2＝（﹣0）2+[m﹣（﹣4）]2＝m2+8m+，

DP2＝（﹣2）2+（m﹣0）2＝m2+，

BD2＝（2﹣0）2+[0﹣（﹣4）]2＝20．

∵△BPD是以BD為斜邊的直角三角形，

∴BP2+DP2＝BD2，即m2+8m++m2+＝20，

整理，得：4m2+16m+5＝0，

解得：， ，

∴拋物線的對稱軸上存在點P，使△BPD是以BD為斜邊的直角三角形，點P的坐標(biāo)為（，）或（，）．