Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=2x+8與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x正半軸上，且OA=OC．點(diǎn)P為線段AC（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段OQ（見(jiàn)圖2）

（1）分別求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，連接AQ，求證：∠OAQ=45°；

（3）如圖2，連接BQ，試求出當(dāng)線段BQ取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（-4，0），C（8，0）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-6，2）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

（2）只要證明△OAQ≌△OPC，可得∠OAQ=∠OCP=45°；

（3）因?yàn)椤?/span>OAQ=45°，設(shè)直線AQ交x軸與E，則點(diǎn)Q在直線AE上 運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BQ⊥AE時(shí)，BQ的長(zhǎng)最短，求出直線AE、BQ的解析式，利用方程組確定交點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可；

解：（1）對(duì)于直線y=2x+8令x=0得到y=8，令y=0，得到x=-4，

∴A（0，8），B（-4，0），

∴OA=OC=8，

∴C（8，0）．

（2）由旋轉(zhuǎn)可知，OP=OQ，∠POQ=∠AOC=90°，

∴∠AOQ=∠COP，

在△AOQ和△COP中，

，

∴△OAQ≌△OPC，

∴∠OAQ=∠OCP，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OCA=45°，

∴∠OAQ=45°．

（3）如圖2中，

∵∠OAQ=45°，設(shè)直線AQ交x軸與E，則點(diǎn)Q在直線AE上運(yùn)動(dòng)，

∵A（0，8），E（-8，0），

∴直線AE的解析式為y=x+8，

根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)BQ⊥AE時(shí)，BQ的長(zhǎng)最短，

∵BQ⊥AE，

∴直線BQ的解析式為y=-x-4，

由，解得，

∴當(dāng)BQ最短時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-6，2）．