Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直于過點C的直線，垂足為D，且AC平分∠BAD．

(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若AC＝，AD＝4，求AB的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）6.

試題分析：（1）連接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠CAO，推出OC∥AD，推出OC⊥DF，根據(jù)切線判定推出即可；
（2）連接BC，證△DAC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
試題解析：（1）證明：聯(lián)結(jié)OC
∵OA=OC，∴∠1=∠2
∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OC//AD
∴∠OCE=∠ADC
∵AD⊥DC  ∴∠ADC=90°
∴∠OCE=90°
∴CD是⊙O的切線．
（2）解：聯(lián)結(jié)BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3，
即，∴
把AC＝，AD＝4代入，得AB=6．

考點: 1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．