Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？
（3）當(dāng)t=2秒時，四邊形OPQB的面積為多少個平方單位？

Answer 1

分析：（1）已知直線經(jīng)過點(diǎn)A、B就可以利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；
（2）以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似，應(yīng)分△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．
（3）過點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，由△AMQ∽△AOB就可以求出QM的值，就可以求出面積．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0）代入得

6=b 0=8k+b

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
直線AB的解析式為：y=-

3

4

x+6．

（2）∵Rt△OAB中，OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可得，AB=10，
又知AP=t，AQ=10-2t．
分兩種情況：
①當(dāng)△APQ∽△AOB時，有：

AP

AQ

=

AO

AB

，
∴

t

10-2t

=

6

10

，解得t=

30

11

，
②當(dāng)△AQP∽△AOB時，有：

AQ

AP

=

AO

AB

，
∵

10-2t

t

=

6

10

，解得t=

50

13

，
綜上所述，當(dāng)t=

30

11

或

50

13

時，
以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形△AOB相似．

（3）當(dāng)t=2秒時，
AP=2，AQ=6，過點(diǎn)Q作QM⊥OA于M，
易得△AMQ∽△AOB，
∴

AQ

AB

=

QM

OB

，

6

10

=

QM

8

，
解得QM=4.8，
∴△APQ的面積為：

1

2

AP×QM=

1

2

×2×4.8=4.8（平方單位），
∴四邊形OPQB的面積為：S_△AOB-S_△APQ=24-4.8=19.2（平方單位）．

點(diǎn)評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．