Question

【題目】如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．

(1)請直接寫出PM與PN的數(shù)量關系及位置關系 ；

(2)現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)，得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請直接寫出PM與PN的數(shù)量關系及位置關系 ；

(3)若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)PM=PN，PM⊥PN；(2)PM=PN，PM⊥PN；(3)PM=kPN，證明見解析.

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD，由此可得AE＝BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM＝PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN；

（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；

（3）PM＝kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD＝kAE，因為點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，所以PMBD，PNAE，進而可證明PM＝kPN．

（1）PM＝PN，PM⊥PN．理由如下：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°．

在△ACE和△BCD中，

∵，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD．

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PMBD，PNAE，

∴PM＝PN．

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD＝∠EAC，∠MPA＝∠BDC．

∵∠EAC+∠BDC＝90°，

∴∠MPA+∠NPD＝90°，

∴∠MPN＝90°，即PM⊥PN；

（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD，

∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD．

又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，

∴∠BHO＝∠ACO＝90°．

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PMBD，PM∥BD；PNAE，PN∥AE，

∴PM＝PN，

∴∠MGE+∠BHA＝180°，

∴∠MGE＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∴PM⊥PN．

（3）PM＝kPN．

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，

∴∠ACE＝∠BCD．

∵BC＝kAC，CD＝kCE，

∴k，

∴△BCD∽△ACE，

∴BD＝kAE．

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PMBD，PNAE，

∴PM＝kPN．