Question

如圖1，已知△ABC是等邊三角形，點D是邊BC的中點，∠ADE=60°，且DE與∠ACB的外角平分線CE相交于點E．
（1）證明△ADE是等邊三角形，請寫出證明過程；
（2）若D是BC的延長線上（C點除外）的任意一點，其他條件不變（如圖2）那么△ADE是等邊三角形是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過D作AC的平行線交AB于P．由題意知△ADP≌△DEC，可得AD=AE，則由“有一內角為60度的等腰三角形為等邊三角形”可證明△ADE是等邊三角形；
（2）如圖2，延長BA到P，使AP=CD，與（1）相同，可證△BDP是等邊三角形，然后證明△APD≌△DCE（ASA），根據全等三角形的對應邊相等，AD=AE．則由“有一內角為60度的等腰三角形為等邊三角形”可證明△ADE是等邊三角形．

解答：（1）證明：如圖1，過D作AC的平行線交AB于P．
∴△BDP為等邊三角形，BD=BP，
∴AP=CD，
∵∠BPD為△ADP的外角，
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC，
在△ADP和△DEC中，

∠DAP=∠EDC AP=DC ∠APD=∠DCE

，
∴△ADP≌△DEC（ASA），
∴AD=DE，
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．

（2）成立．理由如下：
如圖2，延長BA到P，連接PD．使AP=CD，與（1）相同，可證△BDP是等邊三角形，
∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，
∠PAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，
∴∠CDE=∠PAD，
同理可證，△APD≌△DCE，
∴AD=DE．
∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線，構造全等的三角形是關鍵．