Question

（1）已知△ABC是等腰直角三角形，現(xiàn)分別以它的直角邊BC、斜邊AB為邊向外作正方形BCEF、ABMN，如圖甲，連接MF，延長CB交MF于D．試觀測DF與DM的長度關(guān)系，你會(huì)發(fā)現(xiàn)______．
（2）如果將（1）中的△ABC改為非等腰的直角三角形，其余作法不變，如圖乙，這時(shí)D點(diǎn)還具有（1）的結(jié)論嗎？請證明你的判斷．
（3）如果將（1）中的△ABC改為銳角三角形，仍以其中的兩邊分別向外作正方形，如圖丙，則應(yīng)在圖中過B點(diǎn)作△ABC的______線，它與MF的交點(diǎn)D恰好也具有（1）的結(jié)論．請證明在你的作法下結(jié)論的正確性．

Answer 1

解：（1）DF=DM．

（2）仍具有（1）的結(jié)論，即DF=DM．
證明：延長CD，過M作MP⊥CD，交于P，P為垂足．
∵∠MBP+∠ABC=90°，∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠MBP=∠BAC．
又∠ACB=∠MPB=90°，AB=BM，
∴△ABC≌△BMP，從而BC=MP
∵BC=BF，∴BF=MP．
又∠PDM=∠BDF，∠DPM=∠DBF，
∴△DBF≌△DPM，∴DF=DM．

（3）高．
證明：如圖，延長GD，過M、F作GD的垂線垂足為P、Q．
∵∠MBP+∠BMP=90°，∠ABG+∠MBP=90°，
∴∠BMP=∠ABG．
又∠MPB=∠AGB=90°，AB=BM，
∴△ABG≌△BMP，∴MP=BG．
同理△FQB≌△BGC，
∴FQ=BG，∴MP=FQ．
∵∠FDQ=∠MDP，∠FQD=∠MPD=90°，
∴△FDQ≌△MDP，進(jìn)而DF=DM．
說明過F作FH∥BM交BD的延長線于H．通過證明△ABC≌△HFB得HF=AB=BM，進(jìn)而證明△BDM≌△HFD，得出D是FM的中點(diǎn)．
分析：本題是變式拓展題，△ABC由特殊到一般，構(gòu)造全等三角形的方法沒有變，都要通過與第三個(gè)直角三角形全等過渡，得出結(jié)論．
點(diǎn)評：三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．