Question

（2013•眉山）在矩形ABCD中，DC=2

3

，CF⊥BD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F，連接BF．
（1）求證：△DEC∽△FDC；
（2）當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，求sin∠FBD的值及BC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定；
（2）根據(jù)F為AD的中點(diǎn)，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設(shè)EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC．

解答：解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F為AD的中點(diǎn)，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=

1

3

；
設(shè)EF=x，則FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴

CE

CD

=

CD

FC

，即可得：6x²=12，
解得：x=

2

，
則CF=3

2

，
在Rt△CFD中，DF=

FC2-CD2

=

6

，
∴BC=2DF=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊成比例．