Question

【題目】已知點E是菱形ABCD邊BC上的中點，∠ABC＝30°，P是對角線BD上一點，且PC+PE＝．則菱形ABCD面積的最大值是_____．

Answer 1

【答案】20+8 ．

【解析】

取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，由E、E′關于直線BD對稱，推出PE=PE′，推出PE+PC=PE′+PC，所以當PC+PE′=CE′=時，菱形ABCD面積的最大，作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=a，BH=a，CH=2a-a，在Rt△CHE′中，由CE′2=CH2+HE′2，可得26=a2+（2-）2a2，解得a2=，根據(jù)菱形ABCD面積的最大值=BCAM=2aa=2a2，由此即可解決問題．

取AB的中點E′，連接CE′交BD于P，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠CBD，∵BE=EC，

∴E、E′關于直線BD對稱，

∴PE=PE′，

∴PE+PC=PE′+PC，

∴當PC+PE′=CE′=時，菱形ABCD面積的最大，

作E′H⊥BC于H，AM⊥BC于M．設AB=BC=2a，則AM=a，E′H=a，BH=a，CH=2a-a，

在Rt△CHE′中，∵CE′2=CH2+HE′2，

∴26=a2+（2-）2a2，

∴a2=，

∴菱形ABCD面積的最大值=BCAM=2aa=2a2=2×=20+8．

故答案為20+8．