Question

【題目】對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1，可以得到這個(gè)等式，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式______________；（最后結(jié)果）

（2）根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證上述等式；

（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決問(wèn)題：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，求a2+b2+c2的值；

（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（5a+2b）（3a+5b）的長(zhǎng)方形，求x+y+z的值.

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）證明見(jiàn)解析；（3）30；（4）56.

【解析】

（1）依據(jù)正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；

（2）運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）依據(jù)a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，進(jìn)行計(jì)算即可；

（4）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yab+zb2，而（5a+2b）（3a+5b）=15a2+31ab+10b2，即可得到x，y，z的值．

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

（2）證明：左邊=（a+b+c）（a+b+c）

=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=右邊.

（3）a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=100-70=30

（4）（5a+2b）（3a+5b）=15a2+31ab+10b2

而x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片的面積為xa2+yab+zb2

所以x=15，y=31，z=10，

所以x+y+z=56.