Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），且AB∥y軸，AD∥x軸． 點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥y軸于點(diǎn) F．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P在第二象限，當(dāng)四邊形PEOF是正方形時(shí)，求正方形PEOF的邊長(zhǎng)；

（3）以點(diǎn)E為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部(不包含邊)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B (3，3)；（2）正方形的邊長(zhǎng)為3；（3）＞3或＜.

【解析】

（1）先利用A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)得到正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，然后寫(xiě)出B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P（x，x2+2x），利用正方形的性質(zhì)得到PE=PF，即x2+2x=-x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的邊長(zhǎng)；

（3）設(shè)P（m，m2+2m）（m≠0），則E（m，0），F（0，m2+2m），利用頂點(diǎn)式表示以E為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m=，接著求出拋物線(xiàn)y=x2+2x與BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），則利用點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部（不包含邊）得到-1＜m＜1且m≠0，然后分別解-1＜＜0和0＜＜1即可．

（1）(，)；（2）設(shè)點(diǎn)(，).

當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，有.

解得，.

∵，

∴.

∴正方形的邊長(zhǎng)為.

（3）設(shè)點(diǎn)(，)，則點(diǎn)E（，），則點(diǎn)F(，).

∵為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，

∴該拋物線(xiàn)解析式為.

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，

∴，化簡(jiǎn)得.

對(duì)于，令，解得； 令，解得.

∵點(diǎn)在正方形內(nèi)部，

∴＜＜，且.

①當(dāng)＜＜時(shí)

由反比例函數(shù)性質(zhì)知，∴＜.

②當(dāng)＜＜時(shí)

由反比例函數(shù)性質(zhì)知，∴＞.