Question

【題目】如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC，AC上，AE=CD，AD交BE于點(diǎn)P，于Q，.

（1）求證：；

（2）若，，求AD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；

（2）利用（1）中的全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°；求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7．

(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CA,∠BAE=∠C=60°，

在△AEB與△CDA中，

;，

∴△AEB≌△CDA(SAS)，

∴BE=AD;

(2)由(1)知,△AEB≌△CDA，則∠ABE=∠CAD，

∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，

∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；

∴∠BPQ=60°.

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP=3，

∴BP=6

∴AD=BE =BP+PE=7，即AD=7.