Question

如圖1，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且OA=4，OB=2，反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如圖2，將正方形ABCD沿x軸向右平移

3

個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)A恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．
（3）在（2）的情況下，連結(jié)AO并延長(zhǎng)它，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），
①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少時(shí)，四邊形ABQP是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
②過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少時(shí)，△PAF與△OAF相似？（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC，再由全等三角形的性質(zhì)可求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)．把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

即可得出其解析式；
（2）根據(jù)A（0，4）可知OA=4，再把y=4代入反比例函數(shù)的解析式求出x的值即可；
（3）①先根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)勾股定理求出AQ的長(zhǎng)，由矩形的對(duì)角線相等即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②設(shè)P（x，0），再根據(jù)△AOF∽△PAF與△AOF∽△APF兩種情況進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠AOB=∠BEC=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，2）．
將C（6，2）代入y=

k

x

，得 2=

k

6

，解得 k=12，
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y=

12

x

；

（2）∵A（0，4），
∴OA=4，
當(dāng)y=4時(shí)，x=

12

4

=3，
∴將正方形ABCD沿x軸向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)A恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．
故答案為：3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）時(shí)，四邊形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），雙曲線上各點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴Q（-3，-4），
∴AO=AQ=

32+42

=5，
又∵PO=OB=5，
∴四邊形ABQP是平行四邊形，
又∵PB=AQ=10，
∴四邊形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F(xiàn)（3，0），
∴OA=5，
設(shè)P（x，0），
當(dāng)△AOF∽△PAF時(shí)，

AF

PF

=

OF

AF

，即

4

|3-x|

=

3

4

，解得x=-

7

3

或x=

25

3

，
∴P（-

7

3

，0）或（

25

3

，0）；
當(dāng)△AOF∽△APF時(shí)，
∵AF=AF，
∴OF=PF，
∴P（6，0），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

7

3

，0）或（

25

3

，0）或（6，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．