Question

（2012•湖里區(qū)一模）已知：直線y=

1

2

x+c與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+4c與直線AB交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）若c=-1，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若c＞0，點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

，∠CDB=∠ACB，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)c的值確定出直線解析式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)C為頂點(diǎn)可得b=0，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，再根據(jù)直線與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式求出c=1，從而求出OA、OB、AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)∠CDB=∠ACB，∠CAB為公共角判定△ABC和△ACD相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AD的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出AE、DE的長(zhǎng)，再求出OE的長(zhǎng)，然后得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答．

解答：解：（1）∵c=-1，
∴直線y=

1

2

x-1，
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x-1=0，
解得x=2，
∴點(diǎn)A（2，0），
∵拋物線y=ax²+bx+4c與y軸交于點(diǎn)C，c=-1，
∴點(diǎn)C（0，-4），
又∵點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，
∴-

b

2a

=0，
解得b=0，
把點(diǎn)A（2，0）代入拋物線解析式得，4a-4=0，
解得a=1，
所以，拋物線解析式為y=x²-4，
聯(lián)立

y= 1 2 x-1 y=x2-4

，
解得

x1=2 y1=0

（為點(diǎn)A坐標(biāo)），

x2=- 3 2 y2=- 7 4

，
所以，點(diǎn)D（-

3

2

，-

7

4

）；

（2）令y=0，則

1

2

x+c=0，解得x=-2c，
令x=0，則y=c，
所以，點(diǎn)A（-2c，0），B（0，c），
∵c＞0，
∴OA=2c，OB=c，
根據(jù)勾股定理，AB=

OA2+OB2

=

(2c)2+c2

=

5

c，
S_△ABC=

1

2

×

5

c×

2 5

5

=

1

2

×2c•c，
解得c=1，
∴OA=2，OB=1，AB=

5

，
又∵x=0時(shí)，y=4c=4×1=4，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），
∴OC=4，
∴AC=

OA2+OC2

=

22+42

=2

5

，
∵∠CDB=∠ACB，∠CAB為公共角，
∴△ABC∽△ACD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，
即

2 5

AD

=

5

2 5

，
解得AD=4

5

，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，則△ABO∽△ADE，
∴

AO

AE

=

AB

AD

=

OB

DE

，
即

2

AE

=

5

4 5

=

1

DE

，
解得AE=8，DE=4，
∴OE=AE-OA=8-2=6，
∴點(diǎn)D（6，4），
∵拋物線y=ax²+bx+4過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、D（6，4），
∴

4a-2b+4=0 36a+6b+4=4

，
解得

a=- 1 4 b= 3 2

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要涉及求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．