Question

【題目】如圖，AD與BC相交于點F，FA=FC，∠A=∠C，點E在BD的垂直平分線上．

（1）如圖1，求證：∠FBE=∠FDE；

（2）如圖2，連接CE分別交BD、AD于點H、G，當∠FBD=∠DBE=∠ABF，CD=DE時，直接寫出所有與△ABF全等的三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DFC、△BEH、△CHD、△EDG.

【解析】試題分析：

（1）由題意易證△ABF≌△CDF，由此可得：BF=DF，從而可得∠FBD=∠FDB；由點E在BD的垂直平分線上可得BE=DE，由此可得∠EBD=∠EDB，這樣即可得到∠FBE=∠FDE；

（2）由（1）中結論結合∠FBD=∠DBE=∠ABF，CD=DE易證△BFD≌△BED，由此可證得AB=CD=DE=BE=BF=DF，設∠ABF=2x，則可得∠A=∠BFA=90°-x，∠FBD=∠FDB=2x由此可得∠AFB=4x，這樣在△ABF中由三角形內角和定理可得：2x+90-x+4x=180，由此可得x=18°，這樣即可證得△ABF，△DCF，△BEH，△DEG和△CDH都是頂角為36°的等腰三角形，結合AB=CD=DE=BE即可得到這5個三角形全等，即與△ABF全等的三角形有4個.

試題解析：

（1）∵在△ABF和△CDF中，∠A=∠C，AF=CF，∠AFB=∠CFD，

∴△ABF≌△CDF，

∴BF=DF，

∴∠FBD=∠FDB，

∵由點E在BD的垂直平分線上，

∴BE=DE，

∴∠EBD=∠EDB，

∴∠FBD+∠EBD=∠FDB+∠EDB，即∠FBE=∠FDE；

（2）由（1）可知∠ABF=∠CDF，∠FBE=∠FDE，AB=CD，

∵∠FBD=∠DBE=∠ABF，CD=DE

∴∠ABF=∠FBD=∠EBD=∠CDF=∠FDB=∠BDE，AB=CD=DE=BE，

∴△BFD≌△BED，

∴BF=BE，

∴AB=BF=BE=DE=CD=DF，

∴若設∠ABF=2x，則可得∠A=∠AFB=90°-x，∠FBD=∠FDB=2x，

∵∠AFB=∠FBD+∠FDB=4x，

∴4x=90-x，解得x=18°，

由此可得∠ABF=2x=36°，∠A=∠AFB=72°，即△ABF是頂角為36°的等腰三角形，

結合∠ABF=∠FBD=∠EBD=∠CDF=∠FDB=∠BDE，AB=BF=BE=DE=CD=DF計算可得△DCF，△BEH，△DEG和△CDH都是頂角為36°的等腰三角形，且它們和△ABF有一腰是相等的，

∴△ABF，△DCF，△BEH，△DEG和△CDH是相互全等的，即與△ABF全等的三角形有4個，分別是△DCF，△BEH，△DEG和△CDH.