Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)Q在AB上且AQ=2，過點(diǎn)Q作QR⊥AB垂足為Q，QR交折線AC-CB于R，當(dāng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿AB-BC-CA移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t（秒），
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，RQ=

 

，△ARQ的面積是

 

．
（2）設(shè)△ARQ的面積是S，請寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）t為何值時(shí)PQ∥AC？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，直線QR經(jīng)過點(diǎn)P？
（5）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以PQ為邊在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部時(shí)，請計(jì)算出此時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)求得QR，再根據(jù)三角形的面積公式求得面積；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)R在AC邊上，由△ARQ∽△ABC得，S=

3

8

t²+

3

2

t+

3

2

；②當(dāng)R在BC邊上，S=-

2

3

t²+4t+

32

3

．
（3）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三種情況討論即可：①當(dāng)Q．P均在AB上時(shí)；②當(dāng)P在BC上時(shí)；③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過點(diǎn)P
（5）有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，則PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得

PN

BC

=

AP

AC

，從而得出t；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，則由△BPN∽△BCA得

BP

BC

=

PN

AC

，綜上兩種情況，可得出t的取值范圍．

解答：解：（1）

9

4

，

27

8

；（2分）

（2）當(dāng)R在AC邊上，
由△ARQ∽△ABC得，

RQ

6

=

2+t

8

，RQ=

3

4

（2+t），
S=

1

2

（2+t）×

3

4

（2+t）=

3

8

（2+t）²=

3

8

t²+

3

2

t+

3

2

，
當(dāng)R在BC邊上，RQ=

4

3

（8-t），S=-

2

3

t²+4t+

32

3

；（5分）

（3）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：

8-t

10

=

3t-10

6

，
解得t=

74

18

；（7分）

（4）①當(dāng)Q．P均在AB上時(shí)AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②當(dāng)P在BC上時(shí)，
由△BPQ∽△BAC得

BP

AB

=

BQ

BC

，
即：

3t-10

10

=

8-t

6

，
t=5s，
③當(dāng)P在AC上不存在QR經(jīng)過點(diǎn)P，
綜上當(dāng)t=1s或5s時(shí)直線QR經(jīng)過點(diǎn)P；（10分）

（5）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得

PN

BC

=

AP

AC

，
即

2-2t

6

=

3t

8

，
解得t=

8

17

，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)，若點(diǎn)N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得

BP

BC

=

PN

AC

，
即

10-3t

6

=

2t-2

8

，
解得t=

23

9

，
∵t=1時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合．
∴

8

17

≤t≤

23

9

且t≠1時(shí)正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部．（12分）

點(diǎn)評：本題是一道綜合性較強(qiáng)的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．