Question

如圖，已知：四邊形AEBD中，對角線AB和DE相交于點C，且AB垂直平分DE，AC=a，BC=b，CD=（其中a≥b＞0）．
（1）用尺規(guī)作圖法作出以AB為直徑的⊙O；（保留作圖痕跡）
（2）求證：△ACD∽△DCB；
（3）判斷點D與⊙O的位置關系，并說明理由；
（4）試估計代數式a+b和2的大小關系，并結合圓的有關知識，利用圖形中線段的數量關系說明你的結論的正確性．

Answer 1

解：（1）已知：線段AB，
求作：⊙O，且以AB為直徑；
作法：①分別以A、B為圓心，大于 AB為半徑作弧，交于M、N兩點；
②連接MN，交AB于點O；
③以O為圓心，OA長為半徑作圓．
結論：⊙O即為所求作的圓．

（2）證明：∵AC•BC=CD²，即 ；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，

（3）點D在⊙O上；
理由：由題意知：AC•BC=CD²，即 ；
又∵∠DCA=∠DCB=90°，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠DAC=∠BDC，又∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，即∠ADB=90°；
由圓周角定理知：點D在⊙O上．

（4）結論：a+b≥2 ；
由（2）知，點D、E都在⊙O上，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DE，
∴DE=2DC=2 ，
∵AB≥DE，
∴a+b≥2 ．
分析：（1）作AB的垂直平分線，那么此中垂線與AB的交點即為點O，然后以O為圓心，OA長為半徑作圓即可．
（2）顯然點D在圓上；首先根據AC、BC、CD的長，可得AC•BC=CD²，進而證明△DCA∽△BCD，
（3）求D是否在圓上，連接OD，如果證明了OD=OA=OB那么D就在圓上了，那么只要證明∠ADB是個直角就可以了，可通過證明△DCA∽△BCD，根據題目給出的條件，不難得出CD²=AC•CB，那么證明△DCA∽△BCD就容易多了；
（4）圓內長的弦是直徑，那么AB≥DE，AB=a+b，DE=2DC=2，因此可得出：a+b≥2．
點評：此題主要考查了線段垂直平分線的作法以及圓周角定理的應用，還涉及到相似三角形的判定和性質，要證明某點是否在圓上，只要連接這點和圓心再證明其長度等于半徑即可．