Question

已知拋物線C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1（a＞0，m＞1）的頂點為A，拋物線C₂的對稱軸是y軸，頂點為點B，且拋物線C₁和C₂關(guān)于P（1，3）成中心對稱．
（1）用m的代數(shù)式表示拋物線C₁的頂點坐標；
（2）求m的值和拋物線C₂的解析式（含有字母a）；
（3）設(shè)拋物線C₂與x軸正半軸的交點是C，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）觀察拋物線解析式，可發(fā)現(xiàn)前三項提取公因式a后，可配成完全平方式，由此可將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到C₁的頂點坐標．
（2）由于B點在y軸上，且A、B關(guān)于P點呈中心對稱，那么點P為線段AB的中點，即A橫坐標為P點的2倍，可據(jù)此求出m的值，進而可表示出A、B的坐標，由于拋物線C₁和C₂關(guān)于P（1，3）成中心對稱，那么它們的開口方向相反，頂點關(guān)于P對稱，根據(jù)頂點B的坐標即可表示出拋物線C₂的解析式．
（3）首先設(shè)出點C的橫坐標，然后表示出AB、AC、BC的長，分①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC三種情況討論即可．

解答：解：（1）由于拋物線C₁：y=ax²-2amx+am²+2m+1=a（x-m）²+2m+1，
故拋物線C₁的頂點A（m，2m+1）．

（2）分別過A、P作y軸的垂線，設(shè)垂足為F、E；
∵A、B關(guān)于P點呈中心對稱，
∴AB=2BP；
∴PE是△ABF的中位線，即AF=2PE=2，
故m=2，A（2，5）；
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，則有：

k+b=3 2k+b=5

，
解得

k=2 b=1

，
∴直線AP：y=2x+1，
故B（0，1）；
由于拋物線C₁和C₂關(guān)于P（1，3）成中心對稱，且頂點B（0，1），則：
拋物線C₂：y=-ax²+1．

（3）設(shè)C（x，0），已知A（2，5），B（0，1）；
AB²=（2-0）²+（5-1）²=20，
AC²=（2-x）²+5²=x²-4x+29，
BC²=（0-x）²+1=x²+1；
若△ABC為等腰三角形，則有：
①AB=AC，由于AB=2

5

，而A（2，5），因此AC≥5，故AB＜AC，此種情況不成立；
②AB=BC，則AB²=BC²，有：
x²+1=20，解得x=±

19

（負值舍去）；
將x=

19

代入拋物線C₂的解析式中，得：-19a+1=0，即a=

1

19

；
③AC=BC，則AC²=BC²，有：
x²-4x+29=x²+1，解得x=7；
將x=7代入拋物線C₂的解析式中，得：-49a+1=0，即a=

1

49

；
故△ABC為等腰三角形時，a的值為

1

19

或

1

49

．

點評：此題主要考查了拋物線頂點坐標的求法、函數(shù)圖象的幾何變換、等腰三角形的判定等知識，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．