Question

【題目】已知二次函數(shù)y=mx2+（3m+1）x+3．
（1）當m取何值時，此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）當拋物線y=mx2+（3m+1）x+3與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且m為正整數(shù)時，求此拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，△=b2﹣4ac=（3m+1）2﹣4m×3=（3m﹣1）2＞0，

解得：m≠ ，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，

∴m≠0，

∴當m≠ 且m≠0時，此二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點

（2）解：有求根公式，得：x= = ，

∴x1=﹣3，x2=﹣ ，

∵拋物線與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，

∴m=1，

∴拋物線的解析式為：y=x2+4x+3

【解析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，直接計算即可；（2）根據(jù)求根公式，求出兩根，由拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標都為正整數(shù)，求出m的值，可得拋物線解析式．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．