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        1. 如圖,拋物線與x軸相交于點A、B,與y軸相交于點C,拋物線的對稱軸與x軸相交于點M.P是拋物線在x軸上方的一個動點(點P、M、C不在同一條直線上).分別過點A、B作直線CP的垂線,垂足分別為D、E,連接點MD、ME.

          (1)求點A,B的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果),并證明△MDE是等腰三角形;
          (2)△MDE能否為等腰直角三角形?若能,求此時點P的坐標(biāo);若不能,說明理由;
          (3)若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點(點P、M、C不在同一條直線上)”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點”,其他條件不變,△MDE能否為等腰直角三角形?若能,求此時點P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果);若不能,說明理由.
          (1)A(1,0),B(5,0),證明見解析
          (2)△MDE能成為等腰直角三角形,此時點P坐標(biāo)為(,3)
          (3)能。此時點P坐標(biāo)為(,)。

          試題分析:(1)在拋物線解析式中,令y=0,解一元二次方程,可求得點A、點B的坐標(biāo)。如答圖1所示,作輔助線,構(gòu)造全等三角形△AMF≌△BME,得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點,從而得到MD=ME,問題得證。
          中,令y=0,即﹣,解得x=1或x=5,
          ∴A(1,0),B(5,0)。
          如答圖1所示,分別延長AD與EM,交于點F,

          ∵AD⊥PC,BE⊥PC,∴AD∥BE!唷螹AF=∠MBE。
          在△AMF與△BME中,
          ∵∠MAF=∠MBE,MA=MB,∠AMF=∠BME,
          ∴△AMF≌△BME(ASA)。
          ∴ME=MF,即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點。
          ∴MD=ME,即△MDE是等腰三角形。
          (2)首先分析,若△MDE為等腰直角三角形,直角頂點只能是點M。如答圖2所示,設(shè)直線PC與對稱軸交于點N,證明△ADM≌△NEM,得到MN=AM,從而求得點N坐標(biāo)為(3,2);利用點N、點C坐標(biāo),求出直線PC的解析式;最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式,求出點P的坐標(biāo)。
          能。
          ,∴拋物線的對稱軸是直線x=3,M(3,0)
          令x=0,得y=﹣4,∴C(0,﹣4)。
          △MDE為等腰直角三角形,有3種可能的情形:
          ①若DE⊥EM,
          由DE⊥BE,可知點E、M、B在一條直線上,而點B、M在x軸上,因此點E必然在x軸上。
          由DE⊥BE,可知點E只能與點O重合,即直線PC與y軸重合,不符合題意。
          故此種情況不存在。
          ②若DE⊥DM,與①同理可知,此種情況不存在。
          ③若EM⊥DM,如答圖2所示,

          設(shè)直線PC與對稱軸交于點N,
          ∵EM⊥DM,MN⊥AM,∴∠EMN=∠DMA。
          在△ADM與△NEM中,
          ∵∠DMA =∠EMN,DM = EM,∠ADM=∠NEM=135°,
          ∴△ADM≌△NEM(ASA)。∴MN=MA。
          ∵M(3,0),MN=MA=2,∴N(3,2)。
          設(shè)直線PC解析式為y=kx+b,
          ∵點N(3,2),C(0,﹣4)在拋物線上,
          ,解得。
          ∴直線PC解析式為y=2x﹣4。
          將y=2x﹣4代入拋物線解析式得: ,解得:x=0或x=。
          當(dāng)x=0時,交點為點C;當(dāng)x=時,y=2x﹣4=3。
          ∴P(,3)。
          綜上所述,△MDE能成為等腰直角三角形,此時點P坐標(biāo)為(,3)。
          (3)當(dāng)點P是拋物線在x軸下方的一個動點時,解題思路與(2)完全相同:
          如答題3所示,設(shè)對稱軸與直線PC交于點N,

          與(2)同理,可知若△MDE為等腰直角三角形,直角頂點只能是點M。
          ∵MD⊥ME,MA⊥MN,∴∠DMN=∠EMB。
          在△DMN與△EMB中,
          ∵∠SMN =∠EMB,DM = EM,∠MDN=∠MEB=45°,
          ∴△DMN≌△EMB(ASA)!郙N=MB。∴N(3,﹣2)。
          設(shè)直線PC解析式為y=kx+b,
          ∵點N(3,﹣2),C(0,﹣4)在拋物線上,
          ,解得。
          ∴直線PC解析式為y=x﹣4。
          將y=x﹣4代入拋物線解析式得:,解得:x=0或x=。
          當(dāng)x=0時,交點為點C;當(dāng)x=時,y=x﹣4=!郟()。
          綜上所述,△MDE能成為等腰直角三角形,此時點P坐標(biāo)為(,)。
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線與直線交于點A 、B,與y軸交于點C.

          (1)求點A、B的坐標(biāo);
          (2)若點P是直線x=1上一點,是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          若拋物線與y軸的交點為(0,﹣3),則下列說法不正確的是【   】
          A.拋物線開口向上
          B.拋物線的對稱軸是x=1
          C.當(dāng)x=1時,y的最大值為﹣4
          D.拋物線與x軸的交點為(-1,0),(3,0)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,拋物線與y軸交于點C(0,-4),與x軸交于點A,B,且B點的坐標(biāo)為(2,0)

          (1)求該拋物線的解析式;
          (2)若點P是AB上的一動點,過點P作PE∥AC,交BC于E,連接CP,求△PCE面積的最大值;
          (3)若點D為OA的中點,點M是線段AC上一點,且△OMD為等腰三角形,求M點的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知,如圖(a),拋物線經(jīng)過點A(x1,0),B(x2,0),C(0,-2),其頂點為D.以AB為直徑的⊙M交y軸于點E、F,過點E作⊙M的切線交x軸于點N!螼NE=30°,。

          (1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo);
          (2)連結(jié)AD、BD,在(1)中的拋物線上是否存在一點P,使得△ABP與△ADB相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
          (3)如圖(b),點Q為上的動點(Q不與E、F重合),連結(jié)AQ交y軸于點H,問:AH·AQ是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由。

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標(biāo)是(1,0),C點坐標(biāo)是(4,3).

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小?若存在,求出點D的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
          (3)若點E是(1)中拋物線上的一個動點,且位于直線AC的下方,試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          已知:拋物線C1:y=x2。如圖(1),平移拋物線C1得到拋物線C2,C2經(jīng)過C1的頂點O和A(2,0),C2的對稱軸分別交C1、C2于點B、D。

          (1)求拋物線C2的解析式;
          (2)探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論;
          (3)如圖(2),將拋物線C2向下平移m個單位(m>0)得拋物線C3,C3的頂點為G,與y軸交于M。點N是M關(guān)于x軸的對稱點,點P()在直線MG上。問:當(dāng)m為何值時,在拋物線C3上存在點Q,使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

          (2013年四川眉山11分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A、B在x軸上,點C、D在y軸上,且OB=OC=3,OA=OD=1,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點,直線AD與拋物線交于另一點M.

          (1)求這條拋物線的解析式;
          (2)P為拋物線上一動點,E為直線AD上一動點,是否存在點P,使以點A、P、E為頂點的三角形為等腰直角三角形?若存在,請求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
          (3)請直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移個單位后得到的拋物線的解析式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

          一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中圖象如圖,A點為(-2,0)。則下列結(jié)論中,正確的是【   】
          A.B.C.D.

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          同步練習(xí)冊答案